Realizado en UTN FRBA

Vectores, rectas y planos

En esta primera unidad de Álgebra y Geometría Analítica trabajaremos con vectores en R3, extendiendo al espacio tridimensional las operaciones definidas en R2 y definiendo nuevas operaciones que permitirán ampliar el campo de aplicación. Esta unidad se centra en el estudio de planos y rectas en R3.

A medida que recorran los temas desarrollados, podrán apreciar que los vectores resultan una herramienta potente para la resolución de diferentes problemas de la geometría analítica: intersecciones, distancias, ángulos, proyecciones, etc. Los conceptos trabajados en esta unidad se retomarán con frecuencia en otras unidades de la materia, proporcionando un marco geométrico que facilita la comprensión del estudio de sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales y otros temas.

Empezar Unidad 1

Matrices

En el Módulo B del Seminario de Ingreso se estudiaron sistemas de ecuaciones lineales (características, formas de resolución y clasificación). Como método de resolución se aplicó principalmente el método de eliminación de Gauss, basado en operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada del sistema.

En esta segunda unidad retomaremos estos temas con mayor profundidad a partir del estudio de las matrices y sus determinantes.

En relación con los temas vistos en la primera unidad, aquí podrá apreciarse la conexión que existe entre la Geometría de rectas y planos y los sistemas lineales. Por un lado, la Geometría permite interpretar los sistemas y por otro, algunos problemas geométricos se traducen a través de un sistema lineal.

Los conceptos que se desarrollarán en esta unidad a su vez constituyen una herramienta fundamental para la comprensión de la teoría de los espacios vectoriales, transformaciones lineales y diagonalización.

Empezar Unidad 2

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

Empezar Unidad 3

Sistemas de ecuaciones

En la unidad 2 analizamos las relaciones entre matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Por otra parte, en la unidad 3 vimos los conceptos básicos de la teoría de espacios vectoriales.
En esta unidad retomaremos el estudio de sistemas de ecuaciones lineales a la luz de la teoría de espacios vectoriales. Veremos cómo el rango constituye el concepto central para analizar la compatibilidad y determinar el número de variables libres de un sistema lineal.

A su vez, un buen manejo de los sistemas de ecuaciones lineales es la clave para la comprensión del tema que desarrollaremos en la unidad siguiente: transformaciones lineales.

Empezar Unidad 4

Transformaciones lineales

En la unidad anterior habíamos estudiado sistemas de ecuaciones lineales \(A.x\; = \;b\) , con \(A\; \in \;{\mathbb{R}^{m \times n}}\). Una matriz \(A\) (\(m \times n\)) puede pensarse como un objeto que “actúa” sobre un vector \(x\) multiplicándolo para producir un nuevo vector:
\(x \to b = A.x\)
Desde este punto de vista, resolver la ecuación \(A.x = b\) equivale a encontrar todos los vectores de \({\mathbb{R}^{n \times 1}}\) que se transforman en el vector \(b\) de \({\mathbb{R}^{m \times 1}}\) bajo la “acción” de multiplicar por \(A\).
Esta correspondencia entre \(x\) y \(A.x\) proporciona uno de los principales ejemplos de una clase de funciones entre espacios vectoriales llamadas transformaciones lineales, tema que desarrollaremos en esta unidad.
Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en Matemática, Física, Ingeniería, procesamiento de imágenes, gráficos por computadora y muchas otras áreas de la ciencia.

Empezar Unidad 5

Autovalores y autovectores

En la última unidad hemos estudiado transformaciones lineales y su representación matricial. Uno de los enfoques más poderosos para analizar la conducta de ciertos sistemas del mundo real, es determinar los llamados autovalores (eigenvalores) y autovectores (eigenvectores) de las matrices que modelan dichos sistemas.
Los autovalores y autovectores nos permitirán simplificar el estudio de transformaciones lineales definidas como \(T\left( x \right)\; = \;A.x\) , con \(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\), encontrando una base conveniente para que la representación matricial sea más sencilla.
Además, podremos factorizar matrices cuadradas y obtener fácilmente sus potencias, que se aplican para estudiar el comportamiento de sistemas dinámicos (sistemas cuyo estado evoluciona con el tiempo).

Empezar Unidad 6

Cónicas, parametrización y superficies cuádricas

En esta unidad estudiaremos las curvas denominadas cónicas (parábolas, circunferencias, elipses e hipérbolas) que tienen importancia por sus aplicaciones a la Física y a la Ingeniería. Por ejemplo, las órbitas de los planetas del sistema solar son elípticas. Las propiedades geométricas de las cónicas se aplican tanto en ingeniería biomédica como en el diseño de faros de automóviles o en la localización de barcos y aviones.

También veremos las superficies cuádricas (esferas, elipsoides, hiperboloides, paraboloides, etc.) que podemos observar a menudo como formas arquitectónicas.

Empezar Unidad 7

Aplicaciones de la diagonalización

En la unidad 6 trabajamos el tema autovalores y autovectores y analizamos las condiciones que permiten diagonalizar una matriz cuadrada. Si una matriz es diagonalizable, resulta muy sencillo calcular sus potencias, como veremos en este capítulo.
Por otro lado, en la unidad 7 estudiamos las cónicas de ejes paralelos a los ejes coordenados. Pero… ¿qué ocurre cuando las cónicas están rotadas respecto de dichos ejes?
Veremos en esta unidad cómo la teoría de autovalores y autovectores, y en particular la diagonalización ortogonal que caracteriza a las matrices simétricas, permite dar respuesta a este problema.

Empezar Unidad 8

Números complejos

En el campo de los números reales, no es posible resolver algunas ecuaciones polinómicas sencillas tales como \({x^2} + \;1\; = \;0\). Surge así la necesidad de ampliar el campo numérico de modo que puedan calcularse las raíces de índice par de números negativos, como\(\sqrt { – 1} \) .

En esta unidad presentaremos los números complejos, que dan respuesta a este problema algebraico.

Algunas matrices, como por ejemplo \(R = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}\\1&0\end{array}} \right)\) que representa una rotación de \(\frac{\pi }{2}\), no tienen autovalores reales y por lo tanto no pueden diagonalizarse en  \(\mathbb{R}\).

Sin embargo, dicha matriz sí es diagonalizable en complejos.

En la Ingeniería, los números complejos y las funciones de variable compleja permiten resolver problemas en diferentes áreas como por ejemplo hidráulica, electricidad, electromagnetismo y aerodinámica.

Empezar Unidad 9