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Álgebra y Geometría Analítica

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      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
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Última vez actualizado 29 junio, 2019 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 7 comentarios

Circunferencia

Todos conocen las circunferencias, saben que pueden trazarse con un compás.

Les resultará natural la siguiente definición:

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

\[Centro:C\left( {\alpha ,\beta } \right)\]

\[\mathcal{C} = \left\{ {P\left( {x,y} \right){\rm{|}}d\left( {P,C} \right) = r\;;\;r > 0} \right\}\]

Ahora vamos a deducir partiendo de esta definición, cuál es la expresión de una circunferencia.

Consideremos el siguiente esquema:

Por teorema de Pitágoras sabemos que los puntos \(P\left( {x,y} \right)\) deben cumplir esta ecuación:

\[{\left( {x – \alpha } \right)^2} + {\left( {y – \beta } \right)^2} = {r^2}\;\;\]

Que se llama ecuación ordinaria de la circunferencia con centro \(C\left( {\alpha ,\beta } \right)\) y radio \(r\).

Si \(r = 0\) , ¿qué objeto geométrico representa la ecuación?

Ecuación canónica de la circunferencia

Hay un caso particular de circunferencia, que tiene su centro en el origen. La ecuación que la define se llama ecuación canónica de la circunferencia:

\[{x^2} + {y^2} = {r^2}\]

Si la circunferencia no está centrada en el \(\left( {0,0} \right)\), es posible armar un nuevo sistema de modo tal que el centro de la circunferencia coincida con el nuevo origen de coordenadas. Por ejemplo consideremos:

\[{\left( {x – \alpha } \right)^2} + {\left( {y – \beta } \right)^2} = {r^2}\]

Si hacemos un cambio de variables:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ = x – \alpha }\\{y’ = y – \beta }\end{array}} \right.\]

En las nuevas variables la ecuación queda expresada en forma canónica:

\[{x’^2} + {y’^2} = {r^2}\]

Para obtener la ecuación canónica, hicimos una traslación de ejes, de modo que el centro del nuevo sistema coincidiera con el centro de la circunferencia:

Ejemplo

Encuentre la ecuación de una circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son \(P\left( {4, – 3} \right)\) y \(Q\left( { – 2,7} \right)\).

Conociendo los extremos de un diámetro, ¿cómo obtendrían el centro? ¿Y el radio?

Resolución

Como el segmento \(PQ\) es un diámetro, el centro es el punto medio de este segmento. Y el radio es la mitad de la distancia entre \(P\;y\;Q\):


\[C = \left( {\frac{{4 + \left( { – 2} \right)}}{2},\frac{{ – 3 + 7}}{2}} \right) = \left( {1,2} \right)\]

\[\overrightarrow {PQ} = \left( { – 6,10} \right)\; \Rightarrow \;\overrightarrow {PQ} = 2\sqrt {34} \]

\[radio = \sqrt {34} \]

Entonces ya tenemos las coordenadas del centro, y tenemos el radio. Basta con reemplazar en la ecuación ordinaria para obtener la ecuación de esta circunferencia:

\[{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 34\]

La gráfica es:

Desde ecuación ordinaria hacia ecuación general

A partir de la ecuación ordinaria de la circunferencia, desarrollemos los cuadrados de binomio:

\[{\left( {x – \alpha } \right)^2} + {\left( {y – \beta } \right)^2} = {r^2}\; \Rightarrow {x^2} – 2\alpha x + {\alpha ^2} + {y^2} – 2\beta y + {\beta ^2} = {r^2}\]

Y ahora reagrupemos los términos:

\[{x^2} + {y^2} – 2\alpha x – 2\beta y + \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2} – {r^2}} \right) = 0\]

Y renombremos las constantes:

ecuacion de la cirfunferencia

Se obtiene la ecuación:

\[{x^2} + {y^2} + Dx + Ey + F = 0\;\]

llamada ecuación general de la circunferencia.

Desde ecuación general a ecuación ordinaria

Hemos obtenido a partir de la ecuación ordinaria, la ecuación general de una circunferencia.

Pero dada una ecuación que tiene este aspecto:

\[{x^2} + {y^2} + Dx + Ey + F = 0\]

Si se la pasa a la forma de ecuación ordinaria: ¿siempre se obtendrá una circunferencia?

Para responder esto vamos a recordar cómo se completa cuadrados con un ejemplo.

Ejemplo

Vamos a completar cuadrados en la siguiente expresión:
\[{x^2} + {y^2} – 4x + 2y – 1 = 0\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]

La pregunta es: ¿qué lugar geométrico representa esta ecuación? ¿Estamos seguros de que es una circunferencia? Tendremos que llevarla a la forma ordinaria.

La idea es transformar:

ecuacion de la cirfunferencia

Y además:

ecuacion ordinaria de la circunferencia 2

Empecemos con \({x^2} – 4x\)

¿Qué le falta a esta expresión para ser un trinomio cuadrado perfecto? Falta el término independiente. Sabemos que el término independiente deberá ser la mitad de 4, elevado al cuadrado.

Entonces podemos sumar y restar \({2^2}\):

completar cuadrados

Ahora con la expresión para la variable \(y\):

completar cuadrados 2

Reemplazamos en la \(\left[ 1 \right]\):

\[{\left( {x – 2} \right)^2} – 4 + {\left( {y + 1} \right)^2} – 1 – 1 = 0\]

Y ahora reordenamos para obtener la ecuación de la circunferencia:

\[{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 6\]

¿Cuáles son el centro y el radio?

\[C = \left( {2, – 1} \right)\]

\[r = \sqrt 6 \]

Ejercicio para el lector 1

Completando cuadrados, hallen el lugar geométrico correspondiente a cada una de las ecuaciones:
a)   \({x^2} + {y^2} + 3x + 4 = 0\)

b)   \({x^2} + {y^2} + 6x + 9 = 0\)

Resumen

De la resolución de los puntos anteriores se desprende la conclusión que presentamos a continuación:

 

ecuacion general y ecuacion ordinaria

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Comentarios

  1. José Antonio dice

    6 noviembre, 2017 en 12:16 am

    Muy buena información y bien explicada.

  2. Federico Gómez dice

    8 noviembre, 2017 en 9:55 am

    Gracias José por tu comentario!

  3. Pedro dice

    8 diciembre, 2017 en 3:56 pm

    Muy bueno todo el material, me gustaría que en los ejercicios para el lector estén los resultados para comparar cuando se realiza la practica.

  4. Federico Gómez dice

    12 diciembre, 2017 en 8:48 pm

    Pedro,
    Muchas gracias por comentar!

    Es cierto que sería muy útil. Me lo registré para tenerlo en cuenta a ver si lo agregamos más adelante.
    Saludos!!

  5. Fatima Saucedo Sanchez dice

    29 abril, 2018 en 5:52 pm

    Muy buena información, muchas gracias, me sirvió de mucho para la resolución de varios ejercicios. Sigan así

  6. Guadalupe dice

    10 julio, 2019 en 8:44 pm

    Está página es muy buena, muchísimas gracias, ocuparé este sitio como mi salvación cuando tenga alguna duda sobre los temas que tratan. ?

  7. José Antonio Barrera Núñez dice

    30 julio, 2019 en 2:49 pm

    Muchas gracias desde Málaga, España.
    El vídeo de las cónicas [el de los 24 minutos] me ha parecido magnífico. He podido descubrir incluso mucho más a poder transferir a GG las ecuaciones creadas con Microsoft Word, cosa que no he sabido hasta ahora.

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Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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