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Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
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Última vez actualizado 24 julio, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 11 comentarios

Matrices

Conceptos básicos

Definición de Matriz

Una matriz \(A\) de \(m \times n\) es un ordenamiento rectangular de escalares dispuestos en \(m\) filas y \(n\) columnas. Para designar a cada uno de los \(m.n\) elementos de la matriz se utiliza un doble subíndice que indica el número de fila y número de columna que le corresponde en el arreglo: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}& \cdots &{{a_{3n}}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\{{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{{a_{m3}}}& \cdots &{{a_{mn}}}\end{array}} \right)\] Así, \(\;{a_{34}}\) es el elemento ubicado en la fila tres y la columna cuatro y en general \({a_{ij}}\) es el elemento de la matriz \(A\) que está en la fila \(i\) y en la columna \(j\).

Las matrices suelen designarse con letras mayúsculas: se anota \(A \in {\mathbb{R}^{mxn}}\) para indicar que es una matriz con \(m\) filas y \(n\) columnas cuyos elementos son números reales. Se indican con paréntesis o con corchetes:

matrices-con-parentesis-o-corchetes

Por ejemplo una matriz de dos filas y tres columnas se puede escribir así: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&2&{0\;}\\{ – 2}&{4\;}&1\end{array}} \right)\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;A \in {\mathbb{R}^{2 \times 3}}\]

En este caso, diremos que el tamaño u orden de \(A\) es \(2 \times 3\).

Matriz columna

Podemos pensar los vectores como casos particulares de matrices: \[C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right)\;\;matriz\;o\;vector\;columna\;\;,\;\;\;C \in {\mathbb{R}^{3 \times 1}}\]

Matriz fila

O también: \[F = \left( {2\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;1} \right)\;\;\;matriz\;o\;vector\;fila\;\;\;,\;\;\;\;F \in {\mathbb{R}^{1 \times 3}}\]

Matriz nula

La matriz nula es aquélla cuyos elementos son todos ceros. La simbolizamos con \(O\). (En la guía de trabajos prácticos se la designa como \(N\))

Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales si son del mismo orden (tamaño) y sus elementos respectivos son iguales. \[A,B \in {\mathbb{R}^{mxn}}\;\;\;\;\;A = B\; \Leftrightarrow \;{a_{ij}} = {b_{ij}}\;\;\forall i,j\]

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Sean \(A,B \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\) entonces: \[A + B = C \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\;\;|\;\;\;{c_{ij}} = {a_{ij}} + {b_{ij}}\;\;\;\forall i,j\]

Ejemplo

Sean: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}&1\\{ – 2}&3&2\end{array}} \right)\;\;,\;\;B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&{ – 3}\\3&{ – 1}&2\end{array}} \right)\;\;\;\] Entonces la suma es: \[A + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}&1\\{ – 2}&3&2\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&{ – 3}\\3&{ – 1}&2\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1}&{ – 2}\\1&2&4\end{array}} \right)\]

Producto de un escalar por una matriz

Sean \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}},\;k \in \mathbb{R}\), entonces: \[kA = B\; \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\;\;|\;\;\;{b_{ij}} = k{a_{ij}}\;\;\;\forall i,j\;\] Por ejemplo, si \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}&1\\{ – 2}&3&2\end{array}} \right)\) , entonces \(3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 3}&3\\{ – 6}&9&6\end{array}} \right)\) Cuando \(k\; = \; – 1\), obtenemos la matriz opuesta de A: \[ – A = \left( { – 1} \right)A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&{ – 1}\\2&{ – 3}&{ – 2}\end{array}} \right)\] Podemos así definir la diferencia (resta) entre dos matrices del mismo tamaño: \[A – B = A + \left( { – B} \right)\] O sea: \[A – B = C \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\;\;\;\;|\;\;\;{c_{ij}} = {a_{ij}} – {b_{ij}}\]

Ejemplo

Sean las matrices: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&{ – 1}\\4&5\end{array}} \right)\;\;\;,\;\;\;B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\4&{ – 1}\\5&3\end{array}} \right)\] Entonces: \[2A – B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}6&4\\2&{ – 2}\\8&{10}\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\4&{ – 1}\\5&3\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}6&2\\{ – 2}&{ – 1}\\3&7\end{array}} \right)\]

Ejemplo

Hallar \(X,Y \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\) tales que: \[2X – Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&4\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\] \[3X + Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&5\\0&1\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 2 \right]\;\]

Resolución

Es un sistema de ecuaciones matricial. Las incógnitas son matrices. Podríamos plantear el sistema escribiendo las matrices como \[X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}\\{{x_3}}&{{x_4}}\end{array}} \right)\;\;\;,\;\;\;Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1}}&{{y_2}}\\{{y_3}}&{{y_4}}\end{array}} \right)\] Pero quedarían 8 ecuaciones con 8 incógnitas. Para facilitar la resolución, podemos recurrir a las herramientas que utilizamos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Si sumamos miembro a miembro las ecuaciones queda: \[5X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&4\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&5\\0&1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5&5\\0&5\end{array}} \right)\] \[ \Rightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&1\end{array}} \right)\] Reemplazando en \(\left[ 1 \right]\) \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\0&2\end{array}} \right) – Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&4\end{array}} \right)\;\; \Rightarrow \;\;Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&{ – 2}\end{array}} \right)\] Sugerimos al lector que verifique los resultados obtenidos reemplazando en [2].

Propiedades de la suma de matrices y del producto por un escalar

Sean \(A,B,C \in {\mathbb{R}^{mxn}}\;\;y\;\;\alpha ,\;\beta \in \mathbb{R}\). Vimos que: \(A + B \in {\mathbb{R}^{mxn}}\) y \(\alpha A \in {\mathbb{R}^{mxn}}\). Estas operaciones verifican las siguientes propiedades:

  1. \(A + B = B + A\;\;\;\;\)
  2. \(\left( {A + B} \right) + C = A + \left( {B + C} \right)\;\;\;\;\)
  3. \(A + O = O + A = A\;\;\;\;\;\)
  4. \(A + \left( { – A} \right) = \left( { – A} \right) + A = O\)
  5. \(\alpha \left( {A + B} \right) = \alpha A + \alpha B\)
  6. \(\left( {\alpha + \beta } \right)A = \alpha A + \beta A\)
  7. \(\alpha \left( {\beta A} \right) = \left( {\alpha \beta } \right)A\)
  8. \(1A = A\)

Puede observarse la analogía entre estas propiedades y las que habíamos enunciado en la unidad anterior para vectores de \({\mathbb{R}^3}\).

Producto de matrices

Intuitivamente podría pensarse que el producto de matrices se obtiene multiplicando los elementos correspondientes. Sin embargo, esta definición no resulta útil para resolver problemas que involucren matrices. La experiencia matemática vinculada sobre todo a los sistemas de ecuaciones lineales, ha motivado la siguiente definición de producto de matrices. Definiremos primero el producto de una matriz fila por una matriz columna, y luego generalizaremos. \[{\rm{Si}}\;\;\;A = \left( {{a_1}\;\;\;{a_2}\; \cdots \;\;\;{a_n}} \right)\; \in {\mathbb{R}^{1 \times n}}\;\;\;{\rm{\;y}}\;\;\;\;B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_2}}\\ \vdots \\{{b_n}}\end{array}}\end{array}} \right)\; \in {\mathbb{R}^{nx1}}\;,\;{\rm{entonces}}:\;\;\;\;\] \[AB = \left( {{a_1}\;\;\;{a_2}\; \cdots \;\;\;{a_n}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_2}}\\ \vdots \\{{b_n}}\end{array}}\end{array}} \right) = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + \cdots + {a_n}{b_n}\] Observemos la similitud con el producto escalar de vectores. Sean \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\) y \(B \in {\mathbb{R}^{n \times p}}\), o sea se cumple que la cantidad de columnas de la primera matriz es igual a la cantidad de filas de la segunda:

condicion-para-poder-multiplicar-matrices

Entonces el producto es:

producto de matrices

Una forma alternativa de expresar el producto es: \[AB = C \in {\mathbb{R}^{m \times p}}\;\;\;|\;\;\;\;\;{c_{ij}} = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n {a_{ik}}\;{b_{kj}}\]

Ejemplo

Sean, \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\4&1&0\end{array}} \right)\;\;\;,\;\;\;\;B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&2\\1&{ – 1}&0\\2&0&3\end{array}} \right)\;\;\;\;\;A \in {\mathbb{R}^{2 \times 3}}\;\;\;\;B \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}}\;\;\] Es posible calcular \(A.B\) porque \(A\) tiene tres columnas y \(B\) tiene tres filas. El resultado del producto es una matriz de \(2 \times 3.\)

esquema-de-producto-de-matrices

\[AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1.1 + 2.1 + 3.2}&{1.1 + 2.\left( { – 1} \right) + 3.0}&{1.2 + 2.0 + 3.3}\\{4.1 + 1.1 + 0.2}&{4.1 + 1.\left( { – 1} \right) + 0.0}&{4.2 + 1.0 + 0.3}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}9&{ – 1}&{11}\\5&3&8\end{array}} \right)\] No se puede calcular \(BA\) porque el número de columnas de \(B\) no coincide con el número de filas de \(A\).

Ejemplo

\[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&1\\3&0\end{array}} \right)\;\;,\;\;\;\;Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&2&1\\1&3&{ – 1}\end{array}} \right)\] \[PQ \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}}\;\;,\;\;\;PQ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&5&0\\7&7&1\\9&6&3\end{array}} \right)\] \[QP \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\;\;\;,\;\;\;QP = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&5\\4&4\end{array}} \right)\] O sea que el producto de matrices no es conmutativo.

Propiedades del producto

En lo que sigue entendemos que las operaciones mencionadas pueden efectuarse.

1) \(\left( {AB} \right)C = A\left( {BC} \right)\)  asociatividad

2) \(\left( {A + B} \right)\;C = AC + BC\) distributividad a derecha

\(P\left( {Q + R} \right) = PQ + PR\) distributivida a izquierda

3) \(\left( {kA} \right)B = k\left( {AB} \right) = A\left( {kB} \right)\;\;,\;\;k \in \mathbb{R}\)

4) \(OA = O\;\;\;\;y\;\;\;AO = O\;,\;\;\) siendo \(O\) la matriz nula

Ejercicio para el lector 1

Sean \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\;,\;\;\;B,C \in {\mathbb{R}^{n \times p}}\) Analizar la validez de cada una de las siguientes proposiciones:

  1.  \(AB = 0 \Rightarrow A = 0 \vee B = 0\)
  2. \(AB = AC \wedge A \ne 0 \Rightarrow B = C\)
Ejercicio para el lector 2

Un comercio que vende productos de electrónica, paga una comisión a los vendedores y tiene un beneficio (ganancia) según cada producto. En una tabla se registra el precio de venta, el beneficio para el comercio, la comisión para el vendedor y el costo del producto. Además se tiene información sobre las unidades vendidas en diferentes sucursales. A continuación mostramos dos tablas que resumen esa información para el mes de agosto 2013:

Precio de venta, beneficio, costo, comisión por producto [AGOSTO 2013]
LED 32′ BA455 LED BX567 Smartphone Tablet 10′ Notebook
Costo $ 3.200,00 $ 4.500,00 $ 2.500,00 $ 4.800,00 $ 5.600,00
Comisión $ 200,00 $ 250,00 $ 30,00 $ 40,00 $ 120,00
Beneficio $ 700,00 $ 900,00 $ 200,00 $ 340,00 $ 800,00
Precio de venta $ 4.100,00 $ 5.650,00 $ 2.730,00 $ 5.180,00 $ 6.520,00
Unidades vendidas de cada producto por sucursal [AGOSTO 2013]
Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Sucursal 4
LED 32′ BA455 23 67 43 4
LED BX567 56 20 32 43
Smartphone 10 65 67 65
Tablet 10′ 45 3 23 76
Notebook 67 65 43 80

Si \(A\) y \(B\) son las matrices correspondientes a estas tablas: a) Calcular e interpretar el producto \(AB\). ¿Cuál es la sucursal que obtuvo la máxima ganancia? b) ¿Se puede calcular \(BA\)? ¿Tiene interpretación práctica \(BA\)? Nota: hacer el producto de matrices de órdenes grandes puede implicar demasiado trabajo de cálculo. En estos casos se puede utilizar la ayuda de calculadoras o de un software. En el siguiente link hay un tutorial para hacer cálculos entre matrices con wxMaxima. (Descarga de wxMaxima)

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\), que indicamos como \({A^t}\), es la matriz de \(n \times m\) que se obtiene a partir de \(A\) cambiando las filas por las columnas.

Ejemplo

Si \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\4&5&6\end{array}} \right)\) \( \in {\mathbb{R}^{2×3}}\) , entonces su traspuesta es: \({A^t} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\2&5\\3&6\end{array}} \right)\;\) \( \in {\mathbb{R}^{3×2}}\)

Propiedades de la trasposición

1) \({\left( {A + B} \right)^t} = {A^t} + {B^t}\)

2) \({\left( {kA} \right)^t} = k{A^t},\;\;k \in \mathbb{R}\)

3) \({\left( {{A^t}} \right)^t} = A\)

4) \({\left( {AB} \right)^t} = {B^t}{A^t}\)

Ejemplo

Sean \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\4&5&6\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0\\0&1&{ – 1}\\1&2&1\end{array}} \right)\)

Calculemos:

a) \({\left( {AB} \right)^t}\)

b) \({A^t}{B^t}\)

c) \({B^t}{A^t}\)

Resolución

Ítem a

Calculamos \(AB\) y luego trasponemos:

trasposicion de matrices propiedades

\[{\left( {AB} \right)^t} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&{10}\\9&{21}\\1&1\end{array}} \right)\]

Ítem b

Trasponemos y luego hacemos el producto:

trasposicion de matrices propiedades

Como no coinciden el número de columnas de \({A^t}\) con el número de filas de \({B^t}\), no se puede hacer el producto.

Ítem c

\[{B^t}{A^t} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&1\\1&1&2\\0&{ – 1}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\2&5\\3&6\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&{10}\\9&{21}\\1&1\end{array}} \right)\]

En este ejemplo verificamos la propiedad enunciada: \({\left( {AB} \right)^t}\) = \({B^t}{A^t}\)

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es aquélla que tiene igual número de filas y de columnas. Denominamos \({\mathbb{R}^{nxn}}\) al conjunto de matrices cuadradas de orden n (n filas y n columnas).

La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos \({a_{ii}}\).

Matriz identidad

La matriz identidad, que simbolizamos con \(I\), es una matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en todos los demás elementos. \[{I_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right)\] \[{I_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}} \right)\] \[{I_n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0& \cdots &0\\0&1&0& \cdots &0\\0&0&1& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0&0&0& \cdots &1\end{array}} \right)\]

Propiedad: La matriz identidad es el elemento neutro para el producto de matrices cuadradas. Se comporta como el 1 para los números reales.

Lo mostramos para matrices \(2 \times 2\):

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\] \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\]

\[A.I=I.A=A\]

Matriz inversa

En el conjunto de los números reales existe el inverso multiplicativo para todo número real distinto de cero. Dado un número real \(a\) distinto de cero, \(b\) es su inverso multiplicativo si y solo si \(a.b = 1\).

A continuación definiremos el inverso multiplicativo para matrices cuadradas.

Se dice que \(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es inversible si y sólo si existe una matriz \(B \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) tal que:

\[AB = BA = I\]

Ejemplo

Analizar si las siguientes matrices son inversibles: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\{ – 3}&{ – 1}\end{array}} \right)\] \[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\2&1\end{array}} \right)\] ¿\(\exists B \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\;|\;AB = I\)? \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\{ – 3}&{ – 1}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + c = 1}\\{3b + d = 0}\\{ – 3a – c = 0}\\{ – 3b – d = 1}\end{array}} \right.\] \[ \Rightarrow 1 = 0\;Sistema\;incompatible\]

Como llegamos a una contradicción, la matriz \(A\) no es inversible.

Observación: el único número real no inversible es el cero; pero en \({\mathbb{R}^{n \times n}}\) vemos que existen matrices no nulas que no tienen inversa.

Con la matriz \(P\):

¿\(\exists \;Q \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\;|\;\;PQ = I\)? \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\2&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right)\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + c = 1}\\{3b + d = 0}\\{2a + c = 0}\\{2b + d = 1}\end{array}} \right.\;\; \Rightarrow \;\;a = 1\;\;,\;\;\;b = – 1\;\;,\;\;\;\;c = – 2\;\;,\;\;\;d = 3\] \[Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1}\\{ – 2}&3\end{array}} \right)\]

Les proponemos verificar que \(QP = I\).

Entonces \(P\) es inversible, y \(Q\) se denomina inversa de \(P\).

La notación es:

\[Q = {P^{ – 1}}\]

Entonces:

\[P.P^{-1}=P^{-1}.P=I\]

Más adelante analizaremos qué condición debe cumplir una matriz para ser inversible. Observación: Sean \(A,B \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) entonces: \[AB = I\; \Leftrightarrow \;BA = I\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\] O sea: para matrices cuadradas, si encontramos \(B\) tal que \(AB = I\) , podemos afirmar que \(B\) es la inversa de \(A\).

Propiedades de la inversión de matrices

Sean \(A,B \in {\mathbb{R}^{nxn}}\;\)inversibles Entonces:

1) \(AB\) es inversible y su inversa es: \( \left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

Esto significa que la inversa de \(AB\) es \({B^{ – 1}}{A^{ – 1}}\).

Para demostrar esta propiedad, veamos que: \(\left( {AB} \right)\left( {{B^{ – 1}}{A^{ – 1}}} \right) = I\)

Como el producto de matrices es asociativo, resulta:

\[\left( {AB} \right)\left( {{B^{ – 1}}{A^{ – 1}}} \right) = A\;\left( {B{B^{ – 1}}} \right)\;{A^{ – 1}} = A\;I\;{A^{ – 1}} = A\;{A^{ – 1}} = I\]

El lector puede comprobar que: \(\left( {{B^{ – 1}}{A^{ – 1}}} \right)\;\left( {AB} \right) = I\)

Hemos demostrado que el producto de matrices inversibles es inversible.

¿Ocurre lo mismo con la suma de matrices inversibles?

2) \({\left( {kA} \right)^{ – 1}} = \frac{1}{{k\;}}\;{A^{ – 1}}\;\;\;\left( {k \ne 0} \right)\)

3) \({\left( {{A^t}} \right)^{ – 1}} = {\left( {{A^{ – 1}}} \right)^t}\)

Dejamos las demostraciones a cargo del lector.

Potencias de una matriz cuadrada

Sea \(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\).

Es posible definir potencias de \(A\) como sigue:

\[{A^2} = A\;A\]

\[{A^3} = A\;A\;A\]

potencias de una matriz cuadrada

Ejemplo

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right)\] \[{A^2} = A\;A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}7&{10}\\{15}&{22}\end{array}} \right)\]

Ejercicio para el lector 3

En una ciudad hay tres empresas de telefonía celular (A, B y C) que controlan el mercado.

Inicialmente cada empresa tiene una fracción de la clientela que denominaremos \({a_0}\), \({b_0}\) y \({c_0}\).

Entonces resulta: \({a_0}\; + \;{b_0}\; + \;{c_0} = 1\) (no hay otras empresas)

matrices ejercicio

La figura resume el porcentaje de clientes que cambian de empresa durante un período de seis meses.

Este modelo matemático se basa en los siguientes supuestos:

– El porcentaje de cambio entre las empresas se mantiene constante con el tiempo.

– Los clientes seguirán siendo consumidores de una de estas tres empresas.

– No se incorporan nuevos clientes al sistema.

Llamemos \({X_0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_0}}\\{{b_0}}\\{{c_0}}\end{array}} \right)\) al vector de estado inicial, y \({X_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}\\{{b_1}}\\{{c_1}}\end{array}} \right)\) al vector que indica la fracción de la clientela que corresponde a cada empresa al cabo de un semestre.

Veamos cómo puede obtenerse \({X_1}\) a partir de \({X_0}\) .

De acuerdo con la figura, podemos deducir que al cabo de un período (semestre) la empresa A conservará 70% de su clientela propia.

¿Qué porcentaje de su clientela conservarán las empresas B y C al cabo de un semestre?

Según los datos, finalizado el 1º semestre la fracción de la clientela que tiene A puede obtenerse así:

\[0,70\;{a_0}\; + \;0,10\;{b_0}\; + \;0,10\;{c_0}\; = \;{a_1}\]

¿Qué ecuaciones permiten obtener \({b_1}\) y \({c_1}\)?

Resulta entonces el siguiente sistema: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,70{a_0} + 0,10{b_0} + 0,10{c_0} = {a_1}}\\{0,15{a_0} + 0,85{b_0} + 0,10{c_0} = {b_1}}\\{0,15{a_0} + 0,05{b_0} + 0,80{c_0} = {c_1}}\end{array}} \right.\]

El lector puede comprobar que este sistema puede expresarse mediante un producto de matrices como sigue:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{0,70}&{0,10}&{0,10}\\{0,15}&{0,85}&{0,10}\\{0,15}&{0,05}&{0,80}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_0}}\\{{b_0}}\\{{c_0}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}\\{{b_1}}\\{{c_1}}\end{array}} \right)\]

O sea: \[M{X_0} = {X_1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]

La matriz \(M \in {\mathbb{R}^{3×3}}\) , que caracteriza la evolución del sistema, se denomina matriz de transición.

¿Qué características presenta esta matriz de transición?

1) Todos sus elementos son números reales comprendidos entre 0 y 1.

2) La suma de los elementos de cada columna es 1.

Las matrices cuadradas que cumplen estas dos condiciones se denominan matrices estocásticas o matrices de probabilidad.

Como la matriz de transición se mantiene para el 2º período, la fracción de clientes para el tiempo \(t\; = \;2\) puede calcularse como:

\[M{X_1} = {X_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 2 \right]\]

De [1] y [2] se deduce que: \(\;{X_2} = {M^2}{X_0}\)

Si los porcentajes de cambio de clientela no cambian en los períodos siguientes, entonces \(M\) no cambia cuando se pasa del estado \((n – 1\)) al estado \(n\).

Por lo tanto:

potencias de una matriz cuadrada de probabilidad

O sea, para obtener cómo se distribuyen los clientes luego de \(n\) períodos, podemos proceder así:

\[X_n=M^nX_0\]

Suponiendo que inicialmente las tres empresas se reparten por partes iguales la clientela, les pedimos que calculen (usando wxMaxima) cómo resulta la distribución de clientes:

  1. Al cabo de 3 años.
  2. Al cabo de 10 años
  3. Al cabo de 15 años

Observen luego de hacer los cálculos que en la medida en que el tiempo pasa, las cuotas de mercado de las empresas tienden a estabilizarse.

4. Responder las mismas preguntas suponiendo que inicialmente las cuotas de mercado de las empresas A, B y C son respectivamente: 0,5 , 0,35 y 0,15.

5. ¿Se produce el mismo fenómeno de estabilización en este caso?

Matrices cuadradas especiales

Matriz simétrica

\(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es simétrica si y sólo si \(A = {A^t}\)

O sea:

\[\;{a_{ij}} = {a_{ji}}\]

Las condiciones para que una matriz de orden tres sea simétrica son:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{21}} = {a_{12}}}\\{{a_{31}} = {a_{13}}}\\{{a_{32}} = {a_{23}}}\end{array}} \right.\]

Entonces la forma de una matriz simétrica de orden tres es: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{array}} \right)\;\] Por ejemplo \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&1\\3&0&5\\1&5&1\end{array}} \right) = {A^t}\]

Matrices antisimétricas

\(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es antisimétrica si y sólo si \(A = – {A^t}\)

O sea:

\[{a_{ij}} = – {a_{ji}}\]

Veamos qué pasa con los elementos de la diagonal principal.

Si\(\;\;i = j\) debería ser\(\;\;{a_{ii}} = – {a_{ii}}\) , pero el único número que es el opuesto de sí mismo es el cero. Por lo tanto, la diagonal principal está formada por ceros.

Las condiciones para que una matriz de orden tres sea antisimétrica son:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}} = {a_{22}} = {a_{33}} = 0}\\{{a_{21}} = – {a_{12}}}\\{{a_{31}} = – {a_{13}}}\\{{a_{32}} = – {a_{23}}}\end{array}} \right.\]

Entonces la forma de una matriz antisimétrica de orden tres es:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&a&b\\{ – a}&0&c\\{ – b}&{ – c}&0\end{array}} \right)\]

Por ejemplo:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 3}&4\\3&0&0\\{ – 4}&0&0\end{array}} \right) = – {A^t}\]

Ejercicio para el lector 4

Sea \(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\)

  1. Probar que \(A + {A^t}\) es simétrica
  2. Probar que \(A – {A^t}\) es antisimétrica

Observemos que:

toda matriz cuadrada puede expresarse como suma de una simetrica y una antisimetrica

Entonces: toda matriz cuadrada puede expresarse como la suma de una simétrica y una antisimétrica.

¿Cómo se expresa \(\;A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ – 4}\\8&2\end{array}} \right)\) como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica?

Matrices triangulares

\(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es una matriz triangular superior cuando los elementos debajo de la diagonal principal son ceros: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{array}} \right)\] \[{\rm{Si}}\;i > j \Rightarrow {a_{ij}} = 0\] \(B \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es una matriz triangular inferior cuando los elementos por encima de la diagonal principal son ceros: \[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\b&c&0\\d&e&f\end{array}} \right)\] \[{\rm{Si}}\;i < j \Rightarrow {a_{ij}} = 0\]

Matrices diagonales

Una matriz \(D\) es diagonal si es triangular superior e inferior:

\(D \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) diagonal \( \Leftrightarrow \;\;{a_{ij}} = 0\;\;\;\forall i \ne j\)

La forma de una matriz diagonal de orden tres es: \[D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right)\] Veamos qué característica especial presentan las potencias de una matriz diagonal: \[{D^2} = D.D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&0&0\\0&{{b^2}}&0\\0&0&{{c^2}}\end{array}} \right)\] \[{D^3} = D.D.D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&0&0\\0&{{b^2}}&0\\0&0&{{c^2}}\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3}}&0&0\\0&{{b^3}}&0\\0&0&{{c^3}}\end{array}} \right)\] En general: \[{D^k} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^k}}&0&0\\0&{{b^k}}&0\\0&0&{{c^k}}\end{array}} \right)\;\;,\;\;\;\;\;\;k \in \mathbb{N}\]

Matrices escalares

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

Las matrices escalares de orden 3 tienen esta forma:

\[E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\end{array}} \right)\;\;,\;\;\;k \in \mathbb{R}\]

\[E \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\;es\;escalar \Leftrightarrow E = kI\;\;,\;\;\;k \in \mathbb{R}\]

Matrices ortogonales

Una matriz cuadrada es ortogonal cuando su traspuesta coincide con su inversa:

\(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es ortogonal \( \Leftrightarrow {A^t} = {A^{ – 1}} \Leftrightarrow A{A^t} = I \wedge {A^t}A = I\)

Por ejemplo las siguientes matrices son ortogonales:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{ – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt {10} }}}&{\frac{3}{{\sqrt {10} }}}\\{\frac{3}{{\sqrt {10} }}}&{ – \frac{1}{{\sqrt {10} }}}\end{array}} \right)\]

Dejamos a cargo del lector verificar que las matrices cumplen la definición.

Observemos que las columnas de \(A\) y de \(B\) son vectores ortogonales y de módulo \(1\). Ésta es la característica que distingue a las matrices ortogonales.

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Comentarios

  1. noelia dice

    25 septiembre, 2017 en 11:34 pm

    segun la condiciones de matrices ortogonales: que sus vectores son ortogonales entre si… y que la inversa coincide con la transpuesta. puedo decir que como la condición de transpuesta coincide con la matriz… la matriz ( que seria la transpuesta) por la transpuesta es igual a la identidad; ya que la matriz también es igual a la inversa.
    O viceversa.

  2. noelia dice

    25 septiembre, 2017 en 11:56 pm

    segun una de las propiedades de transposicion: / si hago la transpuesta de la transpuesta es igual la matriz… puedo decir que la inversa de la inversa es la matriz?

  3. noelia dice

    26 septiembre, 2017 en 12:17 am

    disculpa; ya intente demostrarlo pero no es lo que dije; solo lo cumple con la transpuesta.

  4. noelia dice

    26 septiembre, 2017 en 12:19 am

    las matrices singulares no tienen inversas; en cambio las regulares si tienen inversa.

  5. noelia dice

    26 septiembre, 2017 en 12:45 am

    me pide demostrar que la suma de la simetrica y la antisimetrica es la matriz
    A=fila 1 (3 -4) y la fila 2 (8 2)
    yo hice que la simetrica es f1 (a b) y f2 (b c) mas la antisimetrica que es f1 ( 0 d) y f2 ( -d 0) y la iguale a la matriz A. me quedaron 4 ecuaciones con 5 incognitas. al resolverlas la simetrica me dio f1 ( 3 2) y la f2 (2 2) y la antisimetrica es f1( 0 -6) y la f2 ( 6 0).
    mi pregunta seria que si esta bien que en la incognita de la antisimetrica ponga » d» y no «b»?
    porque lo hice con b y me dio absurdo (SI).
    gracias.

  6. Omar Gonzalez dice

    12 abril, 2018 en 2:43 pm

    Es excelente el material muy claro, hay alguna forma de tener este material en forma física ??? libro, pdf ???

  7. Isabel Pustilnik y Federico Gómez dice

    16 mayo, 2018 en 7:32 pm

    Omar! Muchas gracias. Podés descargar gratis el PDF desde el link en el footer de la web. Saludos!!

  8. Reynaldo dice

    17 julio, 2018 en 2:12 pm

    Excelente material, los concpetos y sus aplicaciones son claras y precisan la aplicación de lo conceptual.

  9. Bettu dice

    7 marzo, 2019 en 6:42 pm

    Excelente material,MUY claro, gracias por compartirlo

  10. Marc Gisbert dice

    15 abril, 2020 en 6:25 am

    Excelente material y muy buen explicado.

    Me han quedado bastante claros los conceptos, especialmente sobre las operaciones con matrices, estaría bien tener ejercicios para poder practicar y acabarlo de entender. Yo he encontrado esta página con ejercicios resueltos, por si a alguien le interesa:
    matricesydeterminantes.com

    Igualmente, gracias por las explicaciones, me han sido de gran ayuda para entender y para estudiar para el examen.

  11. Cándido Barajas Pérez dice

    11 mayo, 2020 en 5:31 pm

    Excelente material y muy completo
    gracias y felicidades
    Hay forma de poder descargar tu material en word o pdf
    Saludos.

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Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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