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Álgebra y Geometría Analítica

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      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
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Última vez actualizado 25 mayo, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 4 comentarios

Producto escalar en R3

Producto escalar en \({\mathbb{R}^3}\)

Sean \(\vec u\;,\;\vec v \in {\mathbb{R}^3}\), y \(\theta \) el ángulo entre \(\vec u\) y \(\vec v\), entonces el producto escalar entre \(\vec u\) y \(\vec v\) se define como sigue:

\[\vec u.\vec v = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lVert \vec u\rVert\;\lVert \vec v\rVert\cos \left( \theta \right)\;\;si\;\;\vec u \ne \vec 0 \wedge \;\vec v \ne \vec 0}\\{0\;\;\;\;si\;\;\vec u = \vec 0\;\; \vee \;\vec v = \vec 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]

Ejemplo

Hallar \(\vec u.\vec v\) para \(\vec u = \left( {0,0,1} \right)\;,\;\vec v = \left( {0,3, – 3} \right)\)

Resolución

Hagamos una gráfica para visualizar el ángulo entre los dos vectores:

Calculemos los módulos de \(\vec u\). y \(\vec v\):

\[\lVert \vec u\rVert = 1\]

\[\lVert \vec v\rVert = \sqrt {{3^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \;\;\]

A partir del gráfico podemos determinar que el ángulo entre los vectores es \(\theta = 135^\circ \), o en radianes: \(\theta = \frac{3}{4}\pi \).

Calculemos el producto escalar:

\[\vec u.\vec v = 1.\sqrt {18} .\cos \left( {135^\circ } \right) = 3\sqrt 2 .\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = – 3\]

Pero no siempre es tan sencillo. Consideremos los vectores:

\[\vec u = \left( { – 3,5,8} \right)\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;\vec v\; = \left( {1,1,1} \right)\]

Si quisiéramos calcular el producto escalar entre \(\vec u\) y \(\vec v\), deberíamos conocer el ángulo comprendido entre dichos vectores.

Usando el teorema del coseno se puede deducir otra fórmula para calcular el producto escalar en función de las componentes de los vectores.

Sean \(\vec u = \left( {{u_x},{u_y},{u_z}} \right)\;,\;\;\vec v = \left( {{v_x},{v_y},{v_z}} \right) \in {\mathbb{R}^3}\), entonces:

\[\vec u.\vec v = {u_x}{v_x} + {u_y}{v_y} + {u_z}{v_z}\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 2 \right]\]

Para los vectores dados, resulta:

\[\vec u\;.\vec v\; = \;\left( { – 3} \right).1\; + \;5\;.1\; + \;8.1\; = \;10\]

Propiedades del producto escalar

1) \(\vec u.\vec v\; = \;\vec v.\vec u\)

2) \(\vec u.\left( {\vec v\; + \;\vec w} \right)\; = \;\vec u.\vec v\; + \;\vec u.\vec w\)

3) \(k\;\left( {\vec u.\vec v} \right) = \;\left( {k\vec u.\vec v} \right) = \;\vec u.\left( {k\vec v} \right)\;,\;k \in \mathbb{R}\)

4) \(\vec v.\vec v\; = \;\left( {{v_x},{v_y},{v_z}} \right).\;\left( {{v_x},{v_y},{v_z}} \right) = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = {\lVert \vec v\rVert^2} > 0\;\forall \vec v \ne \vec 0\)

De (4) se deduce que: \(\lVert \vec v\rVert = \sqrt {\vec v.\vec v} \)

Ángulo entre vectores

Dados \(\vec u,\overrightarrow {\;v} \) vectores no nulos de \({\mathbb{R}^3}\), queremos hallar el ángulo entre ellos.

Si \(\theta \) es el ángulo entre \(\vec u\;\;y\;\;\vec v\), de las definiciones [1] y [2] de producto escalar resulta:

\[\cos \left( \theta \right) = \left( {\frac{{\vec u.\vec v}}{{\lVert \vec u\rVert \lVert \vec v\rVert}}} \right)\]

\[{\rm{\theta }} = {\rm{\;arccos}}\left( {\frac{{{u_x}{v_x} + {u_y}{v_y} + {u_z}{v_z}}}{{\lVert \vec u\rVert \lVert \vec v\rVert}}} \right)\;,\;\;\;0 \le \theta \le \pi \]

Por ejemplo, si \[\vec u = \left( {1,1,3} \right)\]

\[\vec v = \left( { – 1,0,4} \right)\;\]

\[\theta = \arccos \left( {\frac{{1.\left( { – 1} \right) + 1.0 + 3.4}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {0^2} + {4^2}} \;\;}}} \right)\]

\[\theta = \arccos \left( {\frac{{11}}{{\sqrt {11} .\sqrt {17} \;\;}}} \right) \cong 36,44^\circ \]

Condición de perpendicularidad entre vectores

Sean \(\vec u\;,\;\vec v\) no nulos,

\[\vec u.\vec v = 0 \Leftrightarrow \;\cos \left( \theta \right) = 0 \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi }{2}\;\]

Esto permite enunciar una condición de perpendicularidad:

\[\vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \vec u.\vec v = 0\]
Ejercicio para el lector 1

Dados \(\vec u = \left( {1,2,3} \right)\;\;\;\)y \(\;\;\vec v = \left( {0,2,5} \right)\;\;\)encontrar todos los vectores perpendiculares a \(\vec u\) y a \(\vec v\) de módulo 3.

Proyección de un vector en la dirección de otro

El producto escalar es útil en problemas en los que se tiene interés en descomponer un vector como suma de vectores perpendiculares.

Dados dos vectores no nulos \(\vec u\) y \(\vec v\) , nos proponemos descomponer \(\vec u\) como suma de un vector paralelo a \(\vec v\;\;\)y otro perpendicular a \(\vec v.\;\) O sea:

\(\vec u = \overrightarrow {{u_1}} + \overrightarrow {{u_2}} \) , \(\overrightarrow {{u_1}} \parallel \vec v\;\) y \(\;\overrightarrow {\;{u_2}} \bot \vec v\)

    \[\overrightarrow {{u_1}} \parallel \vec v\; \Leftrightarrow \;\;\overrightarrow {{u_1}} = k\vec v\;\;,\;k \in \mathbb{R}\;\;\; \Rightarrow \;\;\vec u = k\vec v + \overrightarrow {{u_2}} \]

Podemos aplicar a ambos miembros producto escalar por \(\vec v\). Teniendo en cuenta que \(\overrightarrow {{u_2}} .\vec v = 0\) por ser perpendiculares, resulta:

proyeccion de un vector en la direccion de otro

Entonces:

\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {\frac{{\vec u.\vec v}}{{{\lVert \vec v\rVert^2}}}} \right)\vec v\]

Este vector es la proyección de\(\;\vec u\;\)en la dirección de\(\;\vec v\) :

\[\;{\overrightarrow {proy} _{\vec v}}\left( {\vec u} \right) = \left( {\frac{{\vec u.\vec v}}{{{\lVert \vec v\rVert^2}}}} \right)\overrightarrow {v\;} \]

El vector \({\vec u_2}\;\) puede obtenerse por diferencia:

\[\vec u = \overrightarrow {{u_1}} + \overrightarrow {{u_2}} \;\; \Rightarrow \;\overrightarrow {{u_2}} = \vec u – \overrightarrow {{u_1}} \]

Recordemos que \(\overrightarrow {{u_2}} \) debe ser perpendicular a \(\;\vec v\).

Para resolver algunos problemas geométricos, es útil calcular el módulo del vector de proyección:

\[\lVert {\overrightarrow {proy} _{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\rVert = \left| {\frac{{\vec u.\vec v}}{{{\lVert \vec v \rVert^2}}}} \right|\ \lVert \vec v \rVert = \frac{{\left| {\vec u.\vec v} \right|}}{{{\lVert \vec v \rVert^2}}}\;\lVert \vec v \rVert\; = \;\frac{{\left| {\vec u.\vec v} \right|}}{{\lVert \vec v \rVert}}\]

Ejemplo

Descomponer \(\vec u = \left( {1,2,1} \right)\) como suma de un vector paralelo a \(\vec v = \left( {0,1, – 1} \right)\) más otro perpendicular a \(\vec v\).

Primero buscamos \(\overrightarrow {{u_1}} \) :

\[\overrightarrow {{u_1}} = {\overrightarrow {proy} _{\vec v}}\left( {\vec u} \right) = \left( {\frac{{\vec u.\vec v}}{{{{\lVert \vec v\rVert}^2}}}} \right)\vec v = \left( {\frac{{\left( {1,2,1} \right).\left( {0,1, – 1} \right)}}{{{0^2} + {1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}}}} \right)\left( {0,1, – 1} \right)\]

\[ = \frac{{0 + 2 – 1}}{2}\;\left( {0,1, – 1} \right) = \left( {0,\;\frac{1}{{\;2}}, – \frac{1}{2}} \right)\]

\[\overrightarrow {{u_2}} = \vec u – \overrightarrow {{u_1}} = \left( {1,2,1} \right) – \left( {0,\;\frac{1}{{\;2}}, – \frac{1}{2}} \right) = \left( {1,\;\frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\]

Comprobación: \(\;\;\overrightarrow {{u_2}} \bot \vec v\)

    \[\left( {1,\;\frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right).\left( {0,1, – 1} \right) = 0\]

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Comentarios

  1. kevin dice

    26 marzo, 2019 en 11:32 pm

    Ejercicio para el lector 1
    Dados U y V…….
    En este capitulo no tenemos el conocimiento para resolverlo usando Producto Vectorial. Queria saber de que forma se puede resolver con lo sabido hasta este punto.

  2. Marcelo Ninazunta dice

    14 abril, 2020 en 4:06 pm

    Bien….gracias.

  3. Marcelo Ninazunta dice

    14 abril, 2020 en 4:23 pm

    Hola, una rectificación, el resultado del vector paralelo a V es dividido para raís de 2, no solo para 2. Recuerde que es sólo el módulo de V…

  4. Alan dice

    25 marzo, 2021 en 10:24 pm

    Llego exactamente a la misma conclusión, si piden un perpendicular simultáneamente a otros dos, ¿existe algún recurso distinto al producto vectorial? sino el ejemplo debería moverse a la teoría que viene luego…

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Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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