• Ir al contenido principal
  • Ir a la barra lateral primaria
  • Ir al pie de página

Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Última vez actualizado 22 junio, 2019 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 8 comentarios

Recta en R3

Ecuaciones de la recta en R3

Sabemos que una recta en \({\mathbb{R}^2}\) puede expresarse por la ecuación:

\[y = ax + b\]

Pero ¿qué representa esta ecuación en \({\mathbb{R}^3}\)? En \({\mathbb{R}^3}\) es un plano paralelo al eje \(z\), y en \({\mathbb{R}^2}\) es una recta:

Para definir un plano es suficiente conocer un vector perpendicular al plano y un punto del mismo. ¿Qué datos permiten definir una recta en \({\mathbb{R}^3}\)?

Para definir en forma vectorial una recta en \({\mathbb{R}^3}\), es suficiente conocer un punto de la recta y un vector director que indique la dirección de la misma, o sea un vector paralelo a la recta.

Ecuación vectorial de la recta

Dados un vector \(\vec v = \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\) y un punto \({P_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\), nos proponemos hallar la ecuación de la recta \(r\) que pasa por el punto \({P_0}\) y es paralela al vector \(\vec v\).

Consideremos un punto \(P\left( {x,y,z} \right)\) perteneciente a la recta r. El vector \(\overrightarrow {{P_0}P} \;\) resultará paralelo al vector director \(\vec v\):

gif012-recta-en-r3-director-paso

\[\overrightarrow {{P_0}P} = \alpha \vec v\]

\[\left( {x – {x_0},y – {y_0},z – {z_0}} \right) = \alpha \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\]

\(\left( {x,y,z} \right) = \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) + \alpha \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\;\;\;,\;\;\;\;\alpha \in \mathbb{R} \) Ecuación vectorial de la recta
Ejemplo

Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos \(M\left( {3,2,1} \right)\) y \(S\left( { – 1,1,0} \right)\).

Tenemos como datos dos puntos de la recta, entonces los vectores \(\overrightarrow {MS} \) y \(\overrightarrow {SM} \) son paralelos a dicha recta. Elegimos uno de ellos como vector director:

\[\vec v = \overrightarrow {MS} = \left( { – 4, – 1, – 1} \right)\]

Podemos tomar cualquiera de los dos puntos dados cómo punto de paso, por ejemplo \(M\). Entonces la ecuación es:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,2,1} \right) + \alpha \left( { – 4, – 1, – 1} \right)\;\;\;,\;\;\;\alpha \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;ecuació n\;vectorial\;de\;la\;recta\;MS\]

Para cada valor de \(\alpha \in \mathbb{R}\;,\;\)se obtiene un punto de la recta. Por ejemplo, si \(\alpha = \; – 1\) se obtiene el punto \({P_1}\left( {7,3,2} \right) \in r.\)

¿\(\left( {5, – 3,1} \right) \in r\;\)?

Veamos si existe algún valor de \(\alpha \) que verifique esta ecuación vectorial:

\[\left( {5, – 3,1} \right) = \left( {3,2,1} \right) + \alpha \left( { – 4, – 1, – 1} \right)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 – 4\alpha = 5}\\{2 – \alpha = – 3}\\{1 – \alpha = 1}\end{array}} \right.\;\]

Este sistema es incompatible, así que el punto no pertenece a la recta.

¿Para qué valor de \(\alpha \) se obtiene el punto \(S\)?

Ecuaciones paramétricas de la recta

Hemos visto que la ecuación vectorial de una recta es:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) + \alpha \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\]

Por igualdad de vectores:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + \alpha \;{v_1}}\\{y = {y_0} + \alpha \;{v_2}}\\{z = {z_0} + \alpha \;{v_3}}\end{array}} \right.\) \(\alpha \in \mathbb{R}\)

Éstas son las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta.

Ecuaciones simétricas de la recta

Si \(\;{v_1},{v_2},{v_3}\;\) son distintos de cero, entonces:

\[\alpha = \frac{{x – {x_o}}}{{{v_1}}}\;\;\;,\;\;\;\;\alpha = \frac{{y – {y_o}}}{{{v_2}}}\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\alpha = \frac{{z – {z_o}}}{{{v_3}}}\]

Igualando, resulta:

\[\frac{{x – {x_o}}}{{{v_1}}} = \frac{{y – {y_o}}}{{{v_2}}} = \frac{{z – {z_o}}}{{{v_3}}}\;\;\;\;\;\;\;\;Ecuaciones\;simé tricas\;de\;la\;recta\]

Ejemplo

Consideremos la ecuación vectorial de la recta \(MS\):

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,2,1} \right) + \alpha \left( { – 4, – 1, – 1} \right)\;\;\;,\;\;\;\alpha \in \mathbb{R}\;\]

¿Cómo podemos obtener las ecuaciones paramétricas de la recta? Simplemente por igualdad de vectores escribimos:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 – 4\alpha }\\{y = 2 – \alpha }\\{z = 1 – \alpha }\end{array}} \right.\;\;\alpha \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;Ecuaciones\;paramé tricas\;de\;la\;recta\;MS\]

Para obtener las ecuaciones simétricas, despejamos el parámetro e igualamos:

\[\alpha = \frac{{x – 3}}{{ – 4}}\;\;,\;\;\;\alpha = \frac{{y – 2}}{{ – 1}}\;\;,\;\;\alpha = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}\]

\[\frac{{x – 3}}{4} = y – 2 = z – 1\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;Ecuaciones\;simé tricas\;de\;la\;recta\;MS\]

Recta definida como intersección de dos planos

Dos planos no paralelos \(\;{\pi _{1\;}}:\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0\) y \({\pi _2}\;:\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0\) determinan al cortarse una recta en R3 que queda expresada por el sistema de ecuaciones lineales:

\[r:\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0}\\{\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0}\end{array}} \right.\;\]

Ejemplo

Consideremos el siguiente ejemplo:

\[r:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _1}}\\{\;x – y – z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _2}}\end{array}} \right.\]

Éste es un sistema de \(2\;x\;3\) (de 2 ecuaciones con 3 incógnitas) cuyo conjunto solución es la recta \(r\).

¿Cómo podemos hallar un vector director de la recta y un punto de la misma?

Para obtener \(\vec v\) , debe tenerse en cuenta que:

Por lo tanto \(\overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} \;\) es un vector paralelo a \(r\). Así encontramos un vector director de \(r\):

\[\vec v = \overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0,2, – 2} \right)\]

Para hallar un punto \({P_0} \in r\) , podemos fijar el valor de una de las variables en el sistema de ecuaciones que define a la recta, por ejemplo fijemos arbitrariamente \(z\; = \;0\)

Reemplazando en el sistema, nos queda:


\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\;x – y + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.sistema\;2×2\]

Resolviendo este sistema, obtenemos: \(x = – \;\frac{3}{2}\;\;\;,\;\;\;y = \;\frac{1}{2}\) por lo cual un punto de la recta es \({P_0}\left( { – \;\frac{3}{2}\;,\;\frac{1}{2},0} \right)\).

Con la información obtenida, estamos en condiciones de escribir la ecuación vectorial de la recta:

\[r:\left( {x,y,z} \right) = \left( { – \;\frac{3}{2}\;,\;\frac{1}{2},0} \right) + \lambda \left( {0,2, – 2} \right)\;\;\;,\;\;\;\lambda \; \in R\]

Observación: Si para buscar un punto de la recta fijáramos \(x\; = \;0\) (en lugar de \(z\; = \;0\)), nos quedaría el siguiente sistema: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\; – y – z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)que es incompatible.

¿Por qué se produce esta incompatibilidad? Porque no hay ningún punto de la recta en el plano \(x\; = \;0\), o sea la recta no interseca al plano \(x = 0\).

En resumen:

Dada una recta \(r:\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0}\\{\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\)

podemos obtener un vector director calculando el producto vectorial \(\overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} \) .

Para obtener un punto de la recta, fijamos arbitrariamente el valor de una de las variables y resolvemos el sistema 2×2 resultante.

Ejemplo

Retomemos el ejemplo anterior:

\[r:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _1}}\\{\;x – y – z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _2}}\end{array}} \right.\]

Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta es resolver el sistema de ecuaciones que la define.

Escribimos la matriz ampliada asociada al sistema:

recta en r3

 

Aplicamos operaciones elementales entre filas para resolver el sistema de ecuaciones:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ – 1}\\1&{ – 1}&{ – 1}&{ – 2}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_2} \to \;{F_2} – {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ – 1}\\0&{ – 2}&{ – 2}&{ – 1}\end{array}} \right)\]

\[\mathop \to \limits_{{F_2} \to \; – \frac{1}{2}{F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ – 1}\\0&1&1&{0,5}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_1} \to {F_1} – {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&{ – 1,5}\\0&1&1&{0,5}\end{array}} \right)\]

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&{ – 1,5}\\0&1&1&{0,5}\end{array}} \right)\]

Y ahora escribimos el sistema simplificado:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1,5}\\{y + z = 0,5}\end{array}\;} \right.\]

O sea:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1,5}\\{y = 0,5 – z}\end{array}\;} \right.\]

Entonces el conjunto solución se puede expresar así:

\[S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;|\;\;x = – 1,5\;\; \wedge \;\;y = 0,5 – z} \right\}\]

Y podemos escribir la ecuación vectorial de la recta \(r\):

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { – 1,5\;\;;\;\;0,5 – z\;\;;\;\;z} \right)\]

Llamando \(z = \lambda \) , resulta:

\[r:\;\;\left( {x,y,z} \right) = \left( { – 1,5\;;\;0,5\;;0} \right) + \lambda \;\left( {0, – 1,1} \right)\;\;\;,\;\;\;\lambda \in \mathbb{R}\]

Videos con ejercicios resueltos sobre recta en R3

 

 

 

 

 

Artículos relacionados:

  • Información sobre el curso segundo cuatrimesre 2020
  • Información sobre el curso de verano 2021
  • Información sobre el curso primer cuatrimesre 2021

Archivado en:Parte 1, Vectores, recta y plano.

Interacciones con los lectores

Comentarios

  1. Pablo dice

    18 agosto, 2017 en 3:47 pm

    Estaría bueno que se aclaren un poco más los pasos del ejemplo en que realiza la operación (v=n1×n2=(0,2,–2), y también en la operación «Resolviendo este sistema, obtenemos: x=–3/2 e y=1/2», ya que si bien se entiende que se usan Producto Vectorial y Determinantes, es bueno recordarlo.

  2. Federico Gómez dice

    23 agosto, 2017 en 3:22 pm

    Pablo, el símbolo \(\times\) se usa para representar al producto vectorial. Fijate que dice \(\vec v = \overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0,2, – 2} \right)\). Cuando dice «Resolviendo este sistema …» sólo se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. ¡Gracias por el comentario!

  3. Manuel Sánchez Carrilero dice

    24 enero, 2018 en 7:35 pm

    Muy bueno el desarrollo matemático, perfectamente explicado todo.

    Ahora una observación curiosa: mirando la animación que viene en el apartado Ecuación Vectorial de la Recta, en un momento dado la recta empieza a girar en sentido contrario al que giraba. Se trata de una ilusión óptica impuesta por el cerebro, análoga a la bailarina giratoria.

    Felicitaciones y un saludo

  4. Carlos dice

    2 febrero, 2018 en 12:48 am

    Muchas gracias, muy bien explicado, que gran aporte

  5. Arturo Salazar dice

    15 octubre, 2018 en 10:04 pm

    ¿Y no esta en español cristiano?

  6. Josué Galeano dice

    12 julio, 2019 en 8:51 am

    Muy buen post, resumido y al grano, excelente.

  7. Thomas dice

    14 julio, 2019 en 3:06 pm

    Por que a lo ultimo dice que el vector director es (0 ; -1 ; 1)? No sería (0 ; 2 ; – 2)? Teniendo en cuenta que el director es el producto vectorial entre las dos normales de los planos intersectados?

  8. Oscar dice

    22 abril, 2020 en 1:10 pm

    Me uno al comentario de Thomas, al final la ecuación vectorial de la recta usa un vector diferente al el vector encontrado entre las normales de los planos.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Lo siento, debes estar conectado para publicar un comentario.

Barra lateral primaria

Actualizaciones recientes

  • Primer Parcial Resuelto de AGA [13-09-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [21-06-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [10-11-2018]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [23-06-2018]
  • Primer Parcial Resuelto de AGA [05-05-2018]

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Categorías

  • Aplicaciones de la diagonalización
  • Autovalores y autovectores
  • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
  • Espacios vectoriales
  • Matrices y determinantes
  • Números complejos
  • Parte 1
  • Parte 2
  • Primer parcial resuelto
  • Segundo parcial resuelto
  • Sin categoría
  • Sistemas de ecuaciones
  • Transformaciones lineales
  • Vectores, recta y plano.

Descarga de PDFs

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Unidad 3

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

Empezar Unidad 3

Footer

Buscá en el sitio

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Realizado en UTN FRBA

UDB Matemática – Ciencias Básicas – Secretaría Académica

Licencia Creative Commons

Licencia Creative Commons
Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución – No Comercial – Sin Obra Derivada 4.0 Internacional.

Los gifs

Los GIFs del material teórico

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Descargas en PDF

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Webs relacionadas

Proba Fácil con contenidos de probabilidad y estadística

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Copyright © 2023 · Digital Pro On Genesis Framework · WordPress · Iniciar sesión

  • Parte 1
  • Parte 2
  • Exámenes
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error