Ecuaciones de la recta en R3
Sabemos que una recta en \({\mathbb{R}^2}\) puede expresarse por la ecuación:
\[y = ax + b\]
Pero ¿qué representa esta ecuación en \({\mathbb{R}^3}\)? En \({\mathbb{R}^3}\) es un plano paralelo al eje \(z\), y en \({\mathbb{R}^2}\) es una recta:
Para definir un plano es suficiente conocer un vector perpendicular al plano y un punto del mismo. ¿Qué datos permiten definir una recta en \({\mathbb{R}^3}\)?
Para definir en forma vectorial una recta en \({\mathbb{R}^3}\), es suficiente conocer un punto de la recta y un vector director que indique la dirección de la misma, o sea un vector paralelo a la recta.
Ecuación vectorial de la recta
Dados un vector \(\vec v = \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\) y un punto \({P_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\), nos proponemos hallar la ecuación de la recta \(r\) que pasa por el punto \({P_0}\) y es paralela al vector \(\vec v\).
Consideremos un punto \(P\left( {x,y,z} \right)\) perteneciente a la recta r. El vector \(\overrightarrow {{P_0}P} \;\) resultará paralelo al vector director \(\vec v\):
\[\overrightarrow {{P_0}P} = \alpha \vec v\]
\[\left( {x – {x_0},y – {y_0},z – {z_0}} \right) = \alpha \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\]
Ejemplo
Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos \(M\left( {3,2,1} \right)\) y \(S\left( { – 1,1,0} \right)\).
Tenemos como datos dos puntos de la recta, entonces los vectores \(\overrightarrow {MS} \) y \(\overrightarrow {SM} \) son paralelos a dicha recta. Elegimos uno de ellos como vector director:
\[\vec v = \overrightarrow {MS} = \left( { – 4, – 1, – 1} \right)\]
Podemos tomar cualquiera de los dos puntos dados cómo punto de paso, por ejemplo \(M\). Entonces la ecuación es:
\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,2,1} \right) + \alpha \left( { – 4, – 1, – 1} \right)\;\;\;,\;\;\;\alpha \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;ecuació n\;vectorial\;de\;la\;recta\;MS\]
Para cada valor de \(\alpha \in \mathbb{R}\;,\;\)se obtiene un punto de la recta. Por ejemplo, si \(\alpha = \; – 1\) se obtiene el punto \({P_1}\left( {7,3,2} \right) \in r.\)
¿\(\left( {5, – 3,1} \right) \in r\;\)?
Veamos si existe algún valor de \(\alpha \) que verifique esta ecuación vectorial:
\[\left( {5, – 3,1} \right) = \left( {3,2,1} \right) + \alpha \left( { – 4, – 1, – 1} \right)\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 – 4\alpha = 5}\\{2 – \alpha = – 3}\\{1 – \alpha = 1}\end{array}} \right.\;\]
Este sistema es incompatible, así que el punto no pertenece a la recta.
¿Para qué valor de \(\alpha \) se obtiene el punto \(S\)?
Ecuaciones paramétricas de la recta
Hemos visto que la ecuación vectorial de una recta es:
\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) + \alpha \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\]
Por igualdad de vectores:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + \alpha \;{v_1}}\\{y = {y_0} + \alpha \;{v_2}}\\{z = {z_0} + \alpha \;{v_3}}\end{array}} \right.\) \(\alpha \in \mathbb{R}\)
Éstas son las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta.
Ecuaciones simétricas de la recta
Si \(\;{v_1},{v_2},{v_3}\;\) son distintos de cero, entonces:
\[\alpha = \frac{{x – {x_o}}}{{{v_1}}}\;\;\;,\;\;\;\;\alpha = \frac{{y – {y_o}}}{{{v_2}}}\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\alpha = \frac{{z – {z_o}}}{{{v_3}}}\]
Igualando, resulta:
\[\frac{{x – {x_o}}}{{{v_1}}} = \frac{{y – {y_o}}}{{{v_2}}} = \frac{{z – {z_o}}}{{{v_3}}}\;\;\;\;\;\;\;\;Ecuaciones\;simé tricas\;de\;la\;recta\]
Ejemplo
Consideremos la ecuación vectorial de la recta \(MS\):
\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,2,1} \right) + \alpha \left( { – 4, – 1, – 1} \right)\;\;\;,\;\;\;\alpha \in \mathbb{R}\;\]
¿Cómo podemos obtener las ecuaciones paramétricas de la recta? Simplemente por igualdad de vectores escribimos:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 – 4\alpha }\\{y = 2 – \alpha }\\{z = 1 – \alpha }\end{array}} \right.\;\;\alpha \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;Ecuaciones\;paramé tricas\;de\;la\;recta\;MS\]
Para obtener las ecuaciones simétricas, despejamos el parámetro e igualamos:
\[\alpha = \frac{{x – 3}}{{ – 4}}\;\;,\;\;\;\alpha = \frac{{y – 2}}{{ – 1}}\;\;,\;\;\alpha = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}\]
\[\frac{{x – 3}}{4} = y – 2 = z – 1\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;Ecuaciones\;simé tricas\;de\;la\;recta\;MS\]
Recta definida como intersección de dos planos
Dos planos no paralelos \(\;{\pi _{1\;}}:\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0\) y \({\pi _2}\;:\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0\) determinan al cortarse una recta en R3 que queda expresada por el sistema de ecuaciones lineales:
\[r:\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0}\\{\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0}\end{array}} \right.\;\]
Ejemplo
Consideremos el siguiente ejemplo:
\[r:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _1}}\\{\;x – y – z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _2}}\end{array}} \right.\]
Éste es un sistema de \(2\;x\;3\) (de 2 ecuaciones con 3 incógnitas) cuyo conjunto solución es la recta \(r\).
¿Cómo podemos hallar un vector director de la recta y un punto de la misma?
Para obtener \(\vec v\) , debe tenerse en cuenta que:
Por lo tanto \(\overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} \;\) es un vector paralelo a \(r\). Así encontramos un vector director de \(r\):
\[\vec v = \overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0,2, – 2} \right)\]
Para hallar un punto \({P_0} \in r\) , podemos fijar el valor de una de las variables en el sistema de ecuaciones que define a la recta, por ejemplo fijemos arbitrariamente \(z\; = \;0\)
Reemplazando en el sistema, nos queda:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\;x – y + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.sistema\;2×2\]
Resolviendo este sistema, obtenemos: \(x = – \;\frac{3}{2}\;\;\;,\;\;\;y = \;\frac{1}{2}\) por lo cual un punto de la recta es \({P_0}\left( { – \;\frac{3}{2}\;,\;\frac{1}{2},0} \right)\).
Con la información obtenida, estamos en condiciones de escribir la ecuación vectorial de la recta:
\[r:\left( {x,y,z} \right) = \left( { – \;\frac{3}{2}\;,\;\frac{1}{2},0} \right) + \lambda \left( {0,2, – 2} \right)\;\;\;,\;\;\;\lambda \; \in R\]
Observación: Si para buscar un punto de la recta fijáramos \(x\; = \;0\) (en lugar de \(z\; = \;0\)), nos quedaría el siguiente sistema: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\; – y – z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)que es incompatible.
¿Por qué se produce esta incompatibilidad? Porque no hay ningún punto de la recta en el plano \(x\; = \;0\), o sea la recta no interseca al plano \(x = 0\).
En resumen:
Dada una recta \(r:\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0}\\{\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\)
podemos obtener un vector director calculando el producto vectorial \(\overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} \) .
Para obtener un punto de la recta, fijamos arbitrariamente el valor de una de las variables y resolvemos el sistema 2×2 resultante.
Ejemplo
Retomemos el ejemplo anterior:
\[r:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _1}}\\{\;x – y – z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _2}}\end{array}} \right.\]
Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta es resolver el sistema de ecuaciones que la define.
Escribimos la matriz ampliada asociada al sistema:
Aplicamos operaciones elementales entre filas para resolver el sistema de ecuaciones:
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ – 1}\\1&{ – 1}&{ – 1}&{ – 2}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_2} \to \;{F_2} – {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ – 1}\\0&{ – 2}&{ – 2}&{ – 1}\end{array}} \right)\]
\[\mathop \to \limits_{{F_2} \to \; – \frac{1}{2}{F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{ – 1}\\0&1&1&{0,5}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_1} \to {F_1} – {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&{ – 1,5}\\0&1&1&{0,5}\end{array}} \right)\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&{ – 1,5}\\0&1&1&{0,5}\end{array}} \right)\]
Y ahora escribimos el sistema simplificado:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1,5}\\{y + z = 0,5}\end{array}\;} \right.\]
O sea:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1,5}\\{y = 0,5 – z}\end{array}\;} \right.\]
Entonces el conjunto solución se puede expresar así:
\[S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;|\;\;x = – 1,5\;\; \wedge \;\;y = 0,5 – z} \right\}\]
Y podemos escribir la ecuación vectorial de la recta \(r\):
\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { – 1,5\;\;;\;\;0,5 – z\;\;;\;\;z} \right)\]
Llamando \(z = \lambda \) , resulta:
\[r:\;\;\left( {x,y,z} \right) = \left( { – 1,5\;;\;0,5\;;0} \right) + \lambda \;\left( {0, – 1,1} \right)\;\;\;,\;\;\;\lambda \in \mathbb{R}\]
Videos con ejercicios resueltos sobre recta en R3
Pablo dice
Estaría bueno que se aclaren un poco más los pasos del ejemplo en que realiza la operación (v=n1×n2=(0,2,–2), y también en la operación «Resolviendo este sistema, obtenemos: x=–3/2 e y=1/2», ya que si bien se entiende que se usan Producto Vectorial y Determinantes, es bueno recordarlo.
Federico Gómez dice
Pablo, el símbolo \(\times\) se usa para representar al producto vectorial. Fijate que dice \(\vec v = \overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0,2, – 2} \right)\). Cuando dice «Resolviendo este sistema …» sólo se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. ¡Gracias por el comentario!
Manuel Sánchez Carrilero dice
Muy bueno el desarrollo matemático, perfectamente explicado todo.
Ahora una observación curiosa: mirando la animación que viene en el apartado Ecuación Vectorial de la Recta, en un momento dado la recta empieza a girar en sentido contrario al que giraba. Se trata de una ilusión óptica impuesta por el cerebro, análoga a la bailarina giratoria.
Felicitaciones y un saludo
Carlos dice
Muchas gracias, muy bien explicado, que gran aporte
Arturo Salazar dice
¿Y no esta en español cristiano?
Josué Galeano dice
Muy buen post, resumido y al grano, excelente.
Thomas dice
Por que a lo ultimo dice que el vector director es (0 ; -1 ; 1)? No sería (0 ; 2 ; – 2)? Teniendo en cuenta que el director es el producto vectorial entre las dos normales de los planos intersectados?
Oscar dice
Me uno al comentario de Thomas, al final la ecuación vectorial de la recta usa un vector diferente al el vector encontrado entre las normales de los planos.