• Ir al contenido principal
  • Ir a la barra lateral primaria
  • Ir al pie de página

Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Última vez actualizado 20 noviembre, 2017 por 897 comentarios

Segundo Parcial Resuelto de AGA [04-11-2017]

El siguiente es el enunciado y resolución completa del segundo parcial de álgebra y geometría analítica tomado el día 04-11-2017, en el curso semi-presencial.

Enunciado del segundo parcial de álgebra [04-11-2017]

enunciado segundo parcial aga 04-11-2017

 

Ejercicio 1 – Transformaciones lineales

Sea \(T:{\mathbb{R}^3} \to {P_2}\) transformación lineal |  \(A = M{\left( T \right)_{EB}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&h\\0&0&0\\h&0&4\end{array}} \right)\), con \(E\) base canónica de \({\mathbb{R}^3}\) y \(B = \left\{ {1,1 + x,{x^2}} \right\}\) base de \({P_2}\).

a) Hallar los valores de \(h\) para que \(\dim \left( {Nu\left( T \right)} \right) = 2\).

b) Si \(h = 2\), determinar si \(p\left( x \right) = – 3 – 6{x^2} \in Im\left( T \right)\)

 

Resolución del ejercicio 1

Ítem a

Recordemos que la dimensión del núcleo, de la imagen y del dominio de la transformación se relacionan con el teorema de las dimensiones:

\[\dim \left( {{\mathbb{R}^3}} \right) = \dim \left( {Nu} \right) + \dim \left( {Im} \right)\]

\[3 = \dim \left( {Nu} \right) + \dim \left( {Im} \right)\]

Entonces que la dimensión del núcleo sea igual a 2, es equivalente a que la dimensión de la imagen sea igual a 1.

Pero la dimensión de la imagen es igual al rango de la matriz asociada:

\[\dim \left( {Im} \right) = rg\left( {M{{\left( T \right)}_{EB}}} \right)\]

Calculemos entonces el rango de la matriz. (Para recordar cómo buscar el rango leé acá).

Para escalonar la matriz primero intercambiamos fila 2 y fila 3:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&h\\0&0&0\\h&0&4\end{array}} \right)\mathop  \to \limits_{{F_3} \leftrightarrow {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&h\\h&0&4\\0&0&0\end{array}} \right)\]

Ahora suponiendo que \(h \ne 0\) restamos a la fila 2 por \(h\) veces la fila 1 (así generamos un cero en \({a_{21}}\)):

\[\mathop  \to \limits_{{F_2} – h.{F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&h\\0&0&{4 – {h^2}}\\0&0&0\end{array}} \right)\]

(En el caso de que \(h = 0\), la matriz es \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&0&0\\0&0&4\end{array}} \right)\), y tiene rango 2)

Entonces:

  • Si \(4 – {h^2} = 0\) el rango de la matriz es 1.
  • Si \(4 – {h^2} \ne 0\) el rango de la matriz es 2.

Para que \(4 – {h^2} = 0\) debe ser \(h = 2\) o \(h =  – 2\).

Finalmente para que \(\dim \left( {Nu} \right) = 2\) debe ser \(h = 2\) o \(h =  – 2\).

Ítem b

Si \(h = 2\) la matriz es:

\[M{\left( T \right)_{EB}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&2\\0&0&0\\2&0&4\end{array}} \right)\]

Hay muchas formas correctas (y diferentes) de resolver este ítem.

Nosotros, para determinar si \(p\left( x \right) =  – 3 – 6{x^2} \in Im\left( T \right)\), vamos a optar por hallar la imagen de la transformación lineal.

Podemos obtener la imagen transformando a los vectores de una base del dominio:

\[B = \left\{ {\color{red}{1},\color{green}{1 + x},\color{blue}{{x^2}}} \right\}\]

\[{\left[ {T\left( {1,0,0} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&2\\0&0&0\\2&0&4\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}\end{array}} \right)\]

\[ \Rightarrow T\left( {1,0,0} \right) = 1.\left( \color{red}{1} \right) + 0.\left( {\color{green}{1 + x}} \right) + 2.\left( {\color{blue}{{x^2}}} \right) = 1 + 2{x^2}\]

\[{\left[ {T\left( {0,1,0} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&2\\0&0&0\\2&0&4\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}}\end{array}} \right)\]

\[ \Rightarrow T\left( {1,0,0} \right) = 0.\left( \color{red}{1} \right) + 0.\left( {\color{green}{1 + x}} \right) + 0.\left( {\color{blue}{{x^2}}} \right) = 0{x^2} + 0x + 0\]

\[{\left[ {T\left( {0,0,1} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&2\\0&0&0\\2&0&4\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\4\end{array}}\end{array}} \right)\]

\[ \Rightarrow T\left( {1,0,0} \right) = 2.\left( \color{red}{1} \right) + 0.\left( {\color{green}{1 + x}} \right) + 4.\left( {\color{blue}{{x^2}}} \right) = 2 + 4{x^2}\]

Cómo los transformados de una base del dominio generan la imagen:

\[Im\left( T \right) = gen\left\{ {1 + 2{x^2},2 + 4{x^2}} \right\}\]

Pero \(2 + 4{x^2} = 2\left( {1 + 2{x^2}} \right)\), entonces:

\[{B_{Im}} = \left\{ {1 + 2{x^2}} \right\}\]

Ahora que tenemos una base de la imagen podemos decidir si \( – 3 – 6{x^2} \in Im\left( T \right)\).

Sí pertenece pues:

\[ – 3 – 6{x^2} = \left( {1 + 2{x^2}} \right).\left( { – 3} \right)\]

Ejercicio 2 – Diagonalización

Si \(M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&1&2\\0&a&0\\1&{ – 1}&2\end{array}} \right)\), hallar los valores de \(a\) para los cuales la matriz \(M\) es diagonalizable.

Resolución

Busquemos los autovalores de M resolviendo la ecuación \(\det \left( {M – \lambda .I} \right) = 0\):

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3 – \lambda }&1&2\\0&{a – \lambda }&0\\1&{ – 1}&{2 – \lambda }\end{array}} \right| = 0\]

Conviene calcular el determinante por la fila 2, porque tenemos dos ceros:

\[ \Rightarrow \left( {a – \lambda } \right)\left[ {\left( {3 – \lambda } \right)\left( {2 – \lambda } \right) – 2} \right] = 0\]

\[ \Rightarrow \left( {a – \lambda } \right)\left[ {6 – 5\lambda  + {\lambda ^2} – 2} \right] = 0\]

\[ \Rightarrow \left( {a – \lambda } \right)\left[ {4 – 5\lambda  + {\lambda ^2}} \right] = 0\]

\[ \Rightarrow \left( {a – \lambda } \right)\left( {\lambda  – 4} \right)\left( {\lambda  – 1} \right) = 0\]

Entonces los autovalores de \(M\) son:

\[\lambda  = a \vee \lambda  = 4 \vee \lambda  = 1\]

Sabemos que para que \(M\) sea diagonalizable debe tener exactamente tres autovectores LI.

Y también sabemos que autovalores diferentes están asociados a autovectores LI.

Así que: si \(a \ne 4 \wedge a \ne 1\), \(M\) es diagonalizable.

Pero: ¿qué pasa si \(a = 1\) o si \(a = 4\)? Tenemos que analizarlo. Si ocurriera que el autovalor doble tiene asociado un autoespacio de dimensión 2, también sería diagonalizable en ese caso. Pero lo tenemos que analizar.

Caso \(a = 1\).

Autoespacio asociado a \(\lambda  = 1\) (autovalor doble)

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&1&2\\0&0&0\\1&{ – 1}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\{\begin{array}{*{20}{c}}y\\z\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}}\end{array}} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y + 2z = 0}\\{x – y + z = 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \dim \left( {{S_{\lambda  = 1}}} \right) = 1\]

No coincide la multiplicidad algebraica de \(\lambda  = 1\;\)(doble) con la multiplicidad geométrica.

Entonces la matriz \(M\) no es diagonalizable en este caso.

Caso \(a = 4\).

Autoespacio asociado a \(\lambda  = 4\) (autovalor doble)

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&1&2\\0&0&0\\1&{ – 1}&{ – 2}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\{\begin{array}{*{20}{c}}y\\z\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}}\end{array}} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – x + y + 2z = 0}\\{x – y – 2z = 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \dim \left( {{S_{\lambda  = 4}}} \right) = 2\]

Coincide la multiplicidad algebraica de \(\lambda  = 4\;\)(doble) con la multiplicidad geométrica.

Entonces la matriz \(M\) es diagonalizable en este caso.

Podemos concluir que:

\[M\;es\;diagonalizable\;si\;a \in \mathbb{R} – \left\{ 1 \right\}\]

Ejercicio 3 – Cónicas

a) Obtener la ecuación cartesiana y graficar (en el intervalo indicado) la curva dada por:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 2{{\left( {t – 1} \right)}^2}}\\{y = 1 + t}\end{array}\;\;\;\;\;t \in \left[ { – 1,1} \right]} \right.\)

Indicar el sentido de recorrido sobre la curva.

b) Parametrizar la curva \({x^2} + 4{\left( {y – 1} \right)^2} = 4\) con \(y \le 1\). Graficar indicando el sentido de recorrido.

Resolución del ejercicio 3

Ítem a

La ecuación paramétrica es:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 2{{\left( {t – 1} \right)}^2}}\\{y = 1 + t}\end{array}\;\;\;\;\;t \in \left[ { – 1,1} \right]} \right.\]

Para obtener la ecuación cartesiana, despejemos \(t\) en función de \(y\) reemplacemos en la primera expresión:

\[t = y – 1\]

\[ \Rightarrow x =  – 2{\left( {y – 1 – 1} \right)^2}\]

\[ \bbox[yellow,5px]
{
\Rightarrow x =  – 2{\left( {y – 2} \right)^2}
}
\]

Esta es la ecuación cartesiana de una parábola con vértice en \(\left( {0,2} \right)\), y eje focal de ecuación \(y = 2\). Las “ramas” de la parábola apuntan hacia la izquierda porque el coeficiente es negativo.

La gráfica de \(x =  – 2{\left( {y – 2} \right)^2}\) es:

grafica parabola horizontal

Pero, en la parametrización se establece que \(t \in \left[ { – 1,1} \right]\). Así que la curva definida no es “toda” la parábola, sino sólo un arco.

Para reconocer que parte de la parábola está definida por la expresión y también el sentido de recorrido, tomemos algunos valores de \(t \in \left[ { – 1,1} \right]\) y veamos que puntos se obtienen para esos valores:

Si \(\;\color{red}{t = -1}\), obtenemos
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 2{{\left( { \color{red}{-1} – 1} \right)}^2} =  – 8}\\{y = 1 – 1 = 0}\end{array}} \right.\]

Si\(\;\color{red}{t=0}\), obtenemos
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 2{{\left( {\color{red}{0} – 1} \right)}^2} =  – 2}\\{y = 1 + \color{red}{0} = 1}\end{array}} \right.\]

 

Si\(\;\color{red}{t=1}\), obtenemos
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 2{{\left( { \color{red}{1} – 1} \right)}^2} = 0}\\{y = 1 + \color{red}{1} = 2}\end{array}} \right.\]

Resumiendo, obtuvimos que:

tabla de valores parametrizacion de la parabola

parametrizacion parabola

A continuación se ve una animación que muestra para cada valor de t, el punto que corresponde según la parametrización:

 

Ítem b

Parametrizar la curva \({x^2} + 4{\left( {y – 1} \right)^2} = 4\) con \(y \le 1\). Graficar indicando el sentido de recorrido.

\[{x^2} + 4{\left( {y – 1} \right)^2} = 4\]

Si dividimos a ambos miembros por 4:

\[\frac{{{x^2}}}{4} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\]

Se trata de la ecuación de una elipse centrada en \(\left( {0,1} \right)\) con semiejes 2 y 1, y eje focal de ecuación \(y = 1\).

grafica de una elipse

Pero si debe cumplirse que \(y \le 1\):

grafica de un arco de elipse

Para parametrizar a una elipse usamos la identidad pitagórica \({\cos ^2}\left( \alpha  \right) + {\rm{se}}{{\rm{n}}^2}\left( \alpha  \right) = 1\).

Podemos expresar la ecuación de la elipse cómo suma de dos cuadrados fácilmente:

\[{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\]

Ahora sustituimos:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} = \cos \left( t \right)}\\{y – 1 = {\rm{sen}}\left( t \right)}\end{array}} \right.\]

Y podemos despejar \(x\) e \(y\):

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2.\cos \left( t \right)}\\{y = {\rm{sen}}\left( t \right) + 1}\end{array}} \right.\]

Para definir toda la elipse \(t \in \left[ {0,2\pi } \right]\).

Pero el enunciado pide que \(y \le 1\):

\[{\rm{sen}}\left( t \right) + 1 \le 1\]

\[ \Rightarrow {\rm{sen}} \left( t \right) \le 0\]

Sabemos (o deberíamos recordar) que el seno es negativo en los cuadrantes 3 y 4. Entonces: \(t \in \left[ {\pi ,2\pi } \right]\):

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2.\cos \left( t \right)}\\{y = {\rm{sen}}\left( t \right) + 1}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;t \in \left[ {\pi ,2\pi } \right]\]

Para reconocer el sentido de recorrido, tomemos algunos valores de \(t \in \left[ {\pi ,2\pi } \right]\) y veamos que puntos se obtienen para esos valores:

Si \(\color{red}{t = \pi} \), obtenemos
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2.\cos \left( \color{red}{\pi}  \right) =  – 2}\\{y = {\rm{sen}}\left( \color{red}{\pi}  \right) + 1 = 1}\end{array}} \right.\]

Si \(\color{red}{t = \frac{3}{2}\pi} \), obtenemos
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2.\cos \left( {\color{red}{\frac{3}{2}\pi} } \right) = 0}\\{y = {\rm{sen}}\left( {\color{red}{\frac{3}{2}\pi} } \right) + 1 = 0}\end{array}} \right.\]

Si \(\color{red}{t = 2\pi} \), obtenemos
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2.\cos \left( {\color{red}{2\pi} } \right) = 2}\\{y = {\rm{sen}}\left( {\color{red}{2\pi}} \right) + 1 = 1}\end{array}} \right.\]

 

Resumiendo, obtuvimos que:

tabla de valores parametrizacion de la elipse

Entonces el sentido de recorrido es antihorario:

parametrizacion elipse

En la siguiente animación se puede ver para cada valor de t, el punto correspondiente del plano según la parametrización:

elipse parametrizacion

Ejercicio 4 – Superficies cuádricas

Sea la ecuación \({x^2} – {y^2} + 4{z^2} + 2y = A\)

a) Hallar los valores de \(A\) para los cuales corresponda a una superficie cónica.

b) Para \(A = 0\) identificar y graficar la superficie. Hallar la curva intersección de la superficie y el plano \(y = 4\), identifíquela e indique en el gráfico dicha curva.

Resolución del ejercicio 4

Ítem a

Recordemos que la ecuación de una superficie cónica es:

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \color{red}{-} \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 0\;\) [Con eje sobre el eje z]

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \color{blue}{-} \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 0\;\) [Con eje sobre el eje y]

\( \color{green}{-} \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 0\;\) [Con eje sobre el eje x]

superficies cónicias con diferentes ejes 2

Entonces completamos cuadrados en \(y\):

\[{x^2} – {y^2} + 4{z^2} + 2y = A\]

\[ \Rightarrow {x^2} – \left( {{y^2} – 2y} \right) + 4{z^2} = A\]

Sumamos y restamos la mitad del coeficiente lineal de \(y\):

\[ \Rightarrow {x^2} – \left( {{y^2} – 2y + 1 – 1} \right) + 4{z^2} = A\]

Quedó \({y^2} – 2y + 1\) que es un trinomio cuadrado perfecto. Lo sustituimos por \({\left( {y – 1} \right)^2}\):

\[ \Rightarrow {x^2} – \left( {{{\left( {y – 1} \right)}^2} – 1} \right) + 4{z^2} = A\]

\[ \Rightarrow {x^2} – {\left( {y – 1} \right)^2} + 1 + 4{z^2} = A\]

\[ \Rightarrow {x^2} – {\left( {y – 1} \right)^2} + 4{z^2} = A – 1\]

Entonces para que sea una superficie cónica debe ser:

\[A = 1\]

superficie cónica gif3

Ítem b

Usemos la expresión ya obtenida en el ítem a:

\[{x^2} – {\left( {y – 1} \right)^2} + 4{z^2} = A – 1\]

Para \(A = 0\):

\[{x^2} – {\left( {y – 1} \right)^2} + 4{z^2} =  – 1\]

Multiplicamos por \( – 1\) a cada miembro:

\[ – {x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} – 4{z^2} = 1\]

Se trata de un hiperboloide de dos hojas con centro en \(\left( {0,1,0} \right)\) y eje igual al eje \(y\):

hiperboloide de dos hojas

Hallemos la intersección de la superficie con el plano \(y = 4\):

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – {x^2} + {{\left( {4 – 1} \right)}^2} – 4{z^2} = 1}\\{y = 4}\end{array}} \right.\;\]

\[ \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – {x^2} – 4{z^2} =  – 8}\\{y = 4}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – {x^2} – 4{z^2} =  – 8}\\{y = 4}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{z^2}}}{2} = 1}\\{y = 4}\end{array}} \right.\]

Se trata de una elipse centrada en \(\left( {0,4,0} \right)\):

hiperboloide de dos hojas interseccion con plano

 

Ejercicio 5 – Números complejos

Determinar el conjunto de puntos del plano complejo que satisfacen:

\(\left| {z – \left( {4 + 3i} \right)} \right| \le 3\)   y   \(Re\left( z \right) \le 4\)     \(z \in \mathbb{C}\)

Representar gráficamente.

Resolución del ejercicio 5

Representemos a \(z = x + i.y\).

Entonces reemplacemos:

\[\left| {x + y.i – 4 – 3i} \right| \le 3\]

\[ \Rightarrow \left| {\left( {x – 4} \right) + \left( {y – 3} \right).i} \right| \le 3\]

Calculamos el módulo del complejo:

\[ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {{\left( {y – 3} \right)}^2}}  \le 3\]

Elevamos al cuadrado:

\[ \Rightarrow {\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} \le {3^2}\]

Se trata de la ecuación del círculo (circunferencia y el interior) con centro en \(\left( {4,3} \right)\) y radio 3:

region del plano complejo circulo

 

Si agregamos la condición \(Re\left( z \right) \le 4\):

 

region del plano complejo semi circulo

 

El conjunto de puntos del plano complejo que pertenece a la región doblemente sombreada (semi-circulo) es el que cumple con la expresión:

\(\left| {z – \left( {4 + 3i} \right)} \right| \le 3\)   y   \(Re\left( z \right) \le 4\)     \(z \in \mathbb{C}\)

 

Artículos relacionados:

  • Información sobre el curso segundo cuatrimesre 2020
  • Información sobre el curso de verano 2021
  • Información sobre el curso primer cuatrimesre 2021

Archivado en:Segundo parcial resuelto

Interacciones con los lectores

Comentarios

  1. Martín Reparaz dice

    11 noviembre, 2017 en 4:01 am

    En el ejercicio 4, ítem b piden la intersección con el plano y=1.

  2. Federico Gómez dice

    20 noviembre, 2017 en 11:39 am

    Martín, gracias! Ahí lo corregí. El enunciado debía decir intersección con y=4 y decía y=1. Pero ahora ya está bien. Saludos!

  3. Juan dice

    22 noviembre, 2018 en 1:35 pm

    Creo que a estas alturas de la cursada, deberían implementar Gauss-Jordan para la resolución de matrices. Aún así el material de estudio es de excelente calidad.
    Saludos

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Lo siento, debes estar conectado para publicar un comentario.

Barra lateral primaria

Actualizaciones recientes

  • Primer Parcial Resuelto de AGA [13-09-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [21-06-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [10-11-2018]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [23-06-2018]
  • Primer Parcial Resuelto de AGA [05-05-2018]

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Categorías

  • Aplicaciones de la diagonalización
  • Autovalores y autovectores
  • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
  • Espacios vectoriales
  • Matrices y determinantes
  • Números complejos
  • Parte 1
  • Parte 2
  • Primer parcial resuelto
  • Segundo parcial resuelto
  • Sin categoría
  • Sistemas de ecuaciones
  • Transformaciones lineales
  • Vectores, recta y plano.

Descarga de PDFs

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Unidad 3

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

Empezar Unidad 3

Footer

Buscá en el sitio

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Realizado en UTN FRBA

UDB Matemática – Ciencias Básicas – Secretaría Académica

Licencia Creative Commons

Licencia Creative Commons
Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución – No Comercial – Sin Obra Derivada 4.0 Internacional.

Los gifs

Los GIFs del material teórico

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Descargas en PDF

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Webs relacionadas

Proba Fácil con contenidos de probabilidad y estadística

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Copyright © 2023 · Digital Pro On Genesis Framework · WordPress · Iniciar sesión

  • Parte 1
  • Parte 2
  • Exámenes
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error