• Ir al contenido principal
  • Ir a la barra lateral primaria
  • Ir al pie de página

Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Última vez actualizado 5 julio, 2017 por 507 comentarios

Primer Parcial Resuelto de AGA [22-04-2017]

El siguiente es el enunciado y resolución completa del primer parcial de álgebra y geometría analítica tomado el día 22-04-2017, en el curso semi-presencial.

enunciado parcial aga 22-04-2017

EJERCICIO 1

Sean \({L_1}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {2,2,a} \right) + \beta \left( {1, – 1, – 1} \right)\) y \({L_2}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {a,2,1} \right) + \lambda \left( {0,2,1} \right)\)

Encontrar, si es posible, \(a \in \mathbb{R}\) para que las rectas \({L_1}\) y \({L_2}\) sean coplanares. Para el valor de \(a\) obtenido, hallar el plano contiene a las rectas dadas.

Resolución

Queremos que \({L_1}\) y \({L_2}\) sean coplanares. Podemos plantear la condición de coplanaridad y despejar \(a\):

\({L_1}\) y \({L_2}\) son coplanares \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{v_1}}  \times \overrightarrow {{v_2}} \left( {\overrightarrow {{P_1}{P_2}} } \right) = 0\)

Construimos un vector \(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} \), tomando los puntos de paso de las ecuaciones:

\[\overrightarrow {{P_1}{P_2}}  = \left( {a,2,1} \right) – \left( {2,2,a} \right) = \left( {a – 2,0,1 – a} \right)\]

Ahora calculamos el producto vectorial entre los vectores directores de las rectas:

\[\overrightarrow {{v_1}}  \times \overrightarrow {{v_2}}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}i&j&k\\1&{ – 1}&{ – 1}\\0&2&1\end{array}} \right| = \left( {1, – 1,2} \right)\]

Calculamos el producto escalar:

\[\overrightarrow {{v_1}}  \times \overrightarrow {{v_2}} \left( {\overrightarrow {{P_1}{P_2}} } \right) = \left( {1, – 1,2} \right)\left( {a – 2,0,1 – a} \right) = 0\]

\[ \Rightarrow a – 2 + 2 – 2a = 0\]

\[ \Rightarrow a = 0\]

Para que las rectas sean coplanares debe ser \(a = 0\).

parcial aga e1

Para hallar la ecuación del plano que las contiene recordemos que un vector normal del plano se puede hallar con el producto vectorial de los vectores directores de las rectas. Ese producto ya lo hicimos y obtuvimos el vector \(\left( {1, – 1,2} \right)\).

Entonces la ecuación del plano debe ser:

\[{\rm{\;}}x – y + 2z + d = 0\]

Para hallar el valor de \(d\) podemos reemplazar en la ecuación del plano por un punto \(\left( {2,2,0} \right) \in \pi \):

\[2.0 + d = 0 \Rightarrow d = 0\]

Finalmente la ecuación del plano que las contiene queda:

\[x – y + 2z = 0\]

parcial aga e1 -2

 

EJERCICIO 2

Dado el plano \(\pi :{\rm{\;}}\left( {x,{\rm{\;}}y,{\rm{\;}}z} \right) = \left( {0,{\rm{\;}}1,{\rm{\;}}2} \right) + {t_1}{\rm{\;}}\left( { – 1,{\rm{\;}} – 1,{\rm{\;}}2} \right) + {\rm{\;}}{t_2}{\rm{\;}}\left( {1,{\rm{\;}}1,{\rm{\;}}0} \right)\)  con \({t_1},{\rm{\;}}{t_2} \in \mathbb{R}\).

a) Hallar la proyección ortogonal del punto \(A\left( {2,1,3} \right)\) sobre el plano \(\pi \).

b) Obtener todos los puntos del eje \(y\) que distan \(\sqrt 2 \) unidades del plano \(\pi \).

Resolución del ejercicio 2

Ítem a

Hallemos primero la ecuación general del plano. Hacemos el producto de los vectores directores del plano:

\[\overrightarrow {{n_\pi }}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}i&j&k\\{ – 1}&{ – 1}&2\\1&1&0\end{array}} \right| = \left( { – 2,2,0} \right)\]

Entonces una ecuación es:

\[\pi : – 2x + 2y + d = 0\]

Cómo sabemos que el punto \(\left( {0,1,2} \right) \in \pi \), debe satisfacer la ecuación del plano:

\[ \Rightarrow 2 + d = 0\]

\[ \Rightarrow {\rm{d}} =  – 2\]

\[ \Rightarrow {\rm{\;}}\pi : – 2x + 2y – 2 = 0\]

Dividiendo ambos miembros por 2 nos queda una ecuación simplificada:

\[\pi : – x + y – 1 = 0\]

Ahora construimos una recta auxiliar perpendicular a \(\pi \) que pasa por \(A\):

\[r:\left( {x,y,z} \right) = \left( {2,1,3} \right) + \lambda \left( { – 1,1,0} \right)\]

\[r:{\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 – \lambda }\\{y = 1 + \lambda }\\{z = 3}\end{array}} \right.\]

Y buscamos la intersección entre la recta \(r\) y el plano \(\pi \):

\[ – \left( {2 – \lambda } \right) + \left( {1 + \lambda } \right) – 1 = 0\]

\[ \Rightarrow 2\lambda  – 2 = 0\]

\[ \Rightarrow \lambda  = 1\]

\[r \cap \pi  = A{\rm{‘}} = \left( {1,2,3} \right)\]

 

parcial aga e2 -1

 

Ítem b

Un punto del eje \(y\) es de la forma \({P_y} = \left( {0,y,0} \right)\). Reemplazamos en la ecuación de distancia de punto a un plano:

\[d\left( {{P_y},\pi } \right) = \frac{{\left| { – 0 + y – 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \sqrt 2 \]

\[ \Rightarrow \frac{{\left| {y – 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \]

\[ \Rightarrow \left| {y – 1} \right| = 2\]

\[ \Rightarrow y = 3{\rm{\;\;}} \vee {\rm{\;\;}}y =  – 1\]

Entonces los puntos del eje \(y\) que están a \(\sqrt 2 \) del plano \(\pi \) son:

\({P_1}\left( {0,3,0} \right)\) o bien \({P_2}\left( {0, – 1,0} \right)\)

 

parcial aga e2 -2

 

 

EJERCICIO 3

Calcule el valor del determinante de A matriz de orden 3, sabiendo que \(\left| B \right| = 2\) y \(2{A^2}.{B^{ – 1}} = I\).

Resolución del ejercicio 3

Queremos calcular \(\det \left( A \right)\). Para eso partimos de la expresión:

\[2{A^2}.{B^{ – 1}} = I\]

Los determinantes deben ser iguales:

\[\det \left( {2{A^2}{B^{ – 1}}} \right) = \det \left( I \right)\]

Usando propiedades podemos despejar \(\det \left( A \right)\):

\[ \Rightarrow {2^3}{\left[ {\det \left( A \right)} \right]^2}.\frac{1}{{\det \left( B \right)}} = 1\]

\[ \Rightarrow 8{\left[ {\det \left( A \right)} \right]^2}.\frac{1}{2} = 1\]

\[ \Rightarrow {\left[ {\det \left( A \right)} \right]^2} = \frac{1}{4}\]

\[ \Rightarrow \left| {\det \left( A \right)} \right| = \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow \det \left( A \right) = \frac{1}{2}{\rm{\;\;\;\;\;}}o{\rm{\;}}bien{\rm{\;\;\;\;}}\det \left( A \right) =  – \frac{1}{2}\]

Las propiedades usadas fueron:

\[\det \left( {k.A} \right) = {k^n}\det \left( A \right)\]

\[\det \left( {A.B} \right) = \det \left( A \right).\det \left( B \right)\]

\[\det \left( {{A^k}} \right) = {\left[ {\det \left( A \right)} \right]^k}\]

\[\det \left( {{B^{ – 1}}} \right) = \frac{1}{{\det \left( B \right)}}\]

EJERCICIO 4

Halle las ecuaciones que definen al subespacio S, una base y su dimensión, siendo \(S = gen\left\{ {x + 1,\;\;{x^2} – 2x,\;\;{x^2} + 2x + 4} \right\} \subset {P_2}\).

Resolución del ejercicio 4

El subespacio \(S\) está definido por un conjunto generador. Queremos definirlo por sus ecuaciones.

Si un vector \(a{x^2} + bx + c\) de \({P_2}\) pertenece a \(S\) debe ser combinación lineal de los vectores del conjunto generador:

\[a{x^2} + bx + c = \alpha \left( {x + 1} \right) + \beta \left( {{x^2} – 2x} \right) + \gamma \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\]

Distribuyendo y reagrupando:

\[a{x^2} + bx + c = \left( {\beta  + \gamma } \right){x^2} + \left( {\alpha  – 2\beta  + 2\gamma } \right)x + \left( {\alpha  + 4\gamma } \right)\]

Dos polinomios son iguales si sus respectivos coeficientes son iguales:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\beta  + \gamma  = a}\\{\alpha  – 2\beta  + 2\gamma  = b}\\{\alpha  + 4\gamma  = c}\end{array}} \right.\]

Usemos el método de eliminación de Gauss para hallar la o las ecuaciones de \(S\):

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&1& \vdots &a\\1&{ – 2}&2& \vdots &b\\1&0&4& \vdots &c\end{array}} \right)\mathop  \to \limits_{{F_3} – {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&1& \vdots &a\\1&{ – 2}&2& \vdots &b\\0&2&2& \vdots &{c – b}\end{array}} \right)\mathop  \to \limits_{{F_3} – 2{F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&1& \vdots &a\\1&{ – 2}&2& \vdots &b\\0&0&0& \vdots &{c – b – 2a}\end{array}} \right)\]

Entonces para los vectores de \(S\) debe cumplirse la igualdad:

\[c – b – 2a = 0\]

\[S = \left\{ {a{x^2} + bx + c \in {P_2}\;|\;c – b – 2a = 0} \right\}\]

\({P_2}\) es un espacio vectorial de dimensión 3. Cómo se obtiene una única ecuación (una única restricción) que define a \(S \subset {P_2}\), entonces \(S\) debe tener dimensión \(2\) (una base de \(S\) tiene dos vectores).

Pero el conjunto generador de \(S\) tiene tres vectores. Tenemos que eliminar a uno de ellos. Por ejemplo, podemos ver que el tercer vector del conjunto generador de S es combinación lineal de los primeros dos:

combinacion lineal

También es \({v_2}\) combinación lineal de \({v_1}\) y \({v_3}\), y \({v_1}\) combinación lineal de \({v_2}\) y \({v_3}\). Hay que quitar a alguno de esos vectores (cualquiera de los tres).

Entonces una base de \(S\) puede ser:

\[{B_S} = \left\{ {x + 1,{x^2} – 2x} \right\}\]

\[\dim \left( S \right) = 2\]

EJERCICIO 5

Dados los subespacios

\({S_1} = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right) \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\;\;|\;\;\;4a + b + kc = 0} \right\}\) y \({S_1} = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right) \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\;\;|\;\;\;a + b + c – 3d = 0 \wedge a + d = 0} \right\}\)

a) Halle \(k\), si existe, para que \(\dim \left( {{S_1} \cap {S_2}} \right) = 2\)

b) Para \(k = 1\), halle una base de \({S_1} \cap {S_2}\).

Resolución del ejercicio 5

Ítem a

\({\mathbb{R}^{2 \times 2}}\) es un espacio vectorial de dimensión 4. Para que \({S_1} \cap {S_2}\) tenga dimensión 2, tiene que tener sólo dos ecuaciones/restricciones. Veamos cuánto debe valer \(k\) para que \({S_1} \cap {S_2}\) esté definido por dos ecuaciones.

Los vectores del subespacio \({S_1} \cap {S_2}\) deben cumplir las ecuaciones de \({S_1}\) y también las de \({S_2}\):

interseccion de subespacios

Escribamos a las tres ecuaciones ordenadamente y completando coeficientes para analizar si acaso alguna de esas ecuaciones es redundante:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + b + kc + 0d = 0}\\{a + b + c – 3d = 0}\\{a + 0b + 0c + d = 0}\end{array}} \right.\]

Podemos analizarlo más fácilmente escribiendo la matriz ampliada y realizando operaciones elementales entre filas:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&1&k&0& \vdots &0\\1&1&1&{ – 3}& \vdots &0\\1&0&0&1& \vdots &0\end{array}} \right)\mathop  \to \limits_{{F_3} \leftrightarrow {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&1& \vdots &0\\1&1&1&{ – 3}& \vdots &0\\4&1&k&0& \vdots &0\end{array}} \right)\]

\[\mathop  \to \limits_{\begin{array}{*{20}{c}}{{F_2} – {F_1}}\\{{F_3} – 4{F_1}}\end{array}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&1& \vdots &0\\0&1&1&{ – 4}& \vdots &0\\0&1&k&{ – 4}& \vdots &0\end{array}} \right)\mathop  \to \limits_{{F_3} – {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&1& \vdots &0\\0&1&1&{ – 4}& \vdots &0\\0&0&{k – 1}&0& \vdots &0\end{array}} \right)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1a + 0b + 0c + 1d = 0}\\{0a + 1b + 1c – 4d = 0}\\{0a + 0b + \left( {k – 1} \right)c + 0d = 0}\end{array}} \right.\]

Para que se elimine la tercera ecuación y queden sólo dos ecuaciones que definan al subespacio, debe ser:

\[k – 1 = 0\]

\[ \Rightarrow k = 1\]

Con \(k = 1\), la dimensión de \({S_1} \cap {S_2}\) es \(2\).

Ítem b

Si \(k = 1\) las ecuaciones son (las leemos desde la versión simplificada obtenida con operaciones elementales de filas):

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + d = 0}\\{b + c–4d = 0}\end{array}} \right.\;\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  – d}\\{b = 4d – c}\end{array}} \right.\]

Entonces una matriz de \({S_1} \cap {S_2}\) es de la forma:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{–d}&{4d – c}\\c&d\end{array}} \right)\]

Podemos expresarla así:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{–d}&{4d – c}\\c&d\end{array}} \right) = c\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{–1}\\1&0\end{array}} \right) + d\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{–1}&4\\0&1\end{array}} \right)\]

Luego una base es:

\[{B_{{S_1} \cap {{\rm{S}}_2}}} = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{–1}\\1&0\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{–1}&4\\0&1\end{array}} \right)} \right\}\]

 

Artículos relacionados:

  • Información sobre el curso primer cuatrimesre 2021
  • Información sobre el curso segundo cuatrimesre 2020
  • Información sobre el curso de verano 2021

Archivado en:Primer parcial resuelto

Interacciones con los lectores

Comentarios

  1. leonardo dice

    28 junio, 2017 en 8:13 pm

    increible la ayuda que me dieron con esto. muchisimas gracias

  2. Federico Gómez dice

    29 junio, 2017 en 12:36 pm

    Gracias por el comentario Leonardo!!

  3. Guillermo Maidana dice

    5 julio, 2017 en 3:16 am

    Me ayudo mucho este parcial. Gracias.
    Ahora una duda:
    En el ejercicio 5, item b, donde dice: b = – c – 4d A mi me quedo como: b = – c + 4d.
    ¿Es error mio?

    Gracias de nuevo.

  4. Federico Gómez dice

    5 julio, 2017 en 11:17 am

    Guillermo,
    Tenés toda la razón! 🙂
    Ahí corregí el error. Es $$b = – c + 4d$$
    Gracias por tomarte el trabajo de hacer el comentario.. Ahora quedó correcto.
    Saludo!!

  5. Lucas Pangaro dice

    12 septiembre, 2017 en 11:01 pm

    Exelente pagina! me sirvio de mucho, esta todo perfectamente explicado! Felicitaciones, es increíble!!!

  6. Felipe dice

    2 abril, 2018 en 7:25 pm

    Hola que tal ? increíble el trabajo que hicieron con la pagina y la ayuda que brindan , recién arranco con Álgebra I vamos a ir viendo que onda durante el año. Muchísimas gracias hay mas paginas así para análisis , física , etc?
    saludos

  7. Isabel Pustilnik y Federico Gómez dice

    16 mayo, 2018 en 7:33 pm

    Muchas gracias Felipe 🙂 No sabemos que haya algo similar para otras materias por ahora. Pero si lo piden mucho tal vez lo hagan.

  8. Juan Brea dice

    25 julio, 2018 en 10:17 pm

    Excelente material, muchas gracias gente!

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Lo siento, debes estar conectado para publicar un comentario.

Barra lateral primaria

Actualizaciones recientes

  • Primer Parcial Resuelto de AGA [13-09-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [21-06-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [10-11-2018]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [23-06-2018]
  • Primer Parcial Resuelto de AGA [05-05-2018]

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Categorías

  • Aplicaciones de la diagonalización
  • Autovalores y autovectores
  • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
  • Espacios vectoriales
  • Matrices y determinantes
  • Números complejos
  • Parte 1
  • Parte 2
  • Primer parcial resuelto
  • Segundo parcial resuelto
  • Sin categoría
  • Sistemas de ecuaciones
  • Transformaciones lineales
  • Vectores, recta y plano.

Descarga de PDFs

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Unidad 3

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

Empezar Unidad 3

Footer

Buscá en el sitio

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Realizado en UTN FRBA

UDB Matemática – Ciencias Básicas – Secretaría Académica

Licencia Creative Commons

Licencia Creative Commons
Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución – No Comercial – Sin Obra Derivada 4.0 Internacional.

Los gifs

Los GIFs del material teórico

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Descargas en PDF

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Webs relacionadas

Proba Fácil con contenidos de probabilidad y estadística

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Copyright © 2023 · Digital Pro On Genesis Framework · WordPress · Iniciar sesión

  • Parte 1
  • Parte 2
  • Exámenes
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error