Definición de matrices semejantes
Sean \(A,B \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) , decimos que: \(A\) y \(B\) son matrices semejantes \( \Leftrightarrow \) \(\exists P \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) inversible tal que \(B = {P^{ – 1}}.A.P\) .
Ejemplo
Consideremos las siguientes matrices: \[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&1\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\0&2\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\1&1\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{P^{ – 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}}&0\\{ – \frac{1}{3}}&1\end{array}} \right)\] Podemos afirmar que \(B\) es semejante a \(A\) pues: \[B = {P^{ – 1}}.A.P\] \[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}}&0\\{ – \frac{1}{3}}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\0&2\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\1&1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}}&1\\{ – \frac{1}{3}}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\1&1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&1\end{array}} \right)\]
Propiedad de las matrices semejantes
Si \(A\) y \(B\) son semejantes, tienen el mismo polinomio característico y por lo tanto, los mismos autovalores.
\[A\;y\;B\;semejantes \Rightarrow {p_A}\left( \lambda \right) = {p_B}\left( \lambda \right) \Rightarrow Tienen\;los\;mismos\;autovalores\]
Demostración
\[{p_A}\left( \lambda \right) = \det \left( {A – \lambda I} \right)\] \[{p_B}\left( \lambda \right) = \det \left( {B – \lambda I} \right)\]
Además sabemos que: \[A = {P^{ – 1}}BP\]
Entonces:
Donde hemos reemplazado \(\lambda I\) por \({P^{ – 1}}\lambda IP\) ya que: \[{P^{ – 1}}\lambda IP = \lambda .{P^{ – 1}}P = \lambda I\] Y hemos utilizado la propiedad distributiva del determinante respecto de la multiplicación de matrices.
JAMES HH RODRIGUEZ dice
YA PUES DIGAN DE UNA BUENA VEZ DE DONDE SALE ESA DEFINICION QUE TODOS UDS REPITEN COMO LOROS.
NO LES PIDO UNA DEMOSTRCN PORQUE UNA DEFINICION NO TIENE QUE DEMOSTRARSE. PERO SI PUEDEN DEMOSTRAR QUE SI DOS MATRICES SON SEMEJANTES ENTONCES SE CUMPLE LA DEF O BIEN SI SE CUMPLE LA DEF ENTONCES DEMOSTRAR QUE SON SEMEJANTES.
Cris dice
Hola que tal, tengo una duda y creo que esto se relaciona.
Si tengo dos matrices hermíticas A y B con los mismos eigenvalores, puedo saber si A y B están relacionadas por alguna matriz de similaridad???