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Álgebra y Geometría Analítica

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      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
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      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
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      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
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Última vez actualizado 19 mayo, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 2 comentarios

Matrices semejantes

Definición de matrices semejantes

Sean \(A,B \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) , decimos que: \(A\) y \(B\) son matrices semejantes \( \Leftrightarrow \) \(\exists P \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) inversible tal que \(B = {P^{ – 1}}.A.P\) .

Ejemplo

Consideremos las siguientes matrices: \[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&1\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\0&2\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\1&1\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{P^{ – 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}}&0\\{ – \frac{1}{3}}&1\end{array}} \right)\] Podemos afirmar que \(B\) es semejante a \(A\) pues: \[B = {P^{ – 1}}.A.P\] \[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}}&0\\{ – \frac{1}{3}}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\0&2\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\1&1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}}&1\\{ – \frac{1}{3}}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\1&1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&1\end{array}} \right)\]

Propiedad de las matrices semejantes

Si \(A\) y \(B\) son semejantes, tienen el mismo polinomio característico y por lo tanto, los mismos autovalores.

\[A\;y\;B\;semejantes \Rightarrow {p_A}\left( \lambda \right) = {p_B}\left( \lambda \right) \Rightarrow Tienen\;los\;mismos\;autovalores\]

Demostración

\[{p_A}\left( \lambda \right) = \det \left( {A – \lambda I} \right)\] \[{p_B}\left( \lambda \right) = \det \left( {B – \lambda I} \right)\]

Además sabemos que: \[A = {P^{ – 1}}BP\]

Entonces:

matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracteristico

 

Donde hemos reemplazado \(\lambda I\) por \({P^{ – 1}}\lambda IP\) ya que: \[{P^{ – 1}}\lambda IP = \lambda .{P^{ – 1}}P = \lambda I\] Y hemos utilizado la propiedad distributiva del determinante respecto de la multiplicación de matrices.

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Comentarios

  1. JAMES HH RODRIGUEZ dice

    31 mayo, 2018 en 10:12 pm

    YA PUES DIGAN DE UNA BUENA VEZ DE DONDE SALE ESA DEFINICION QUE TODOS UDS REPITEN COMO LOROS.
    NO LES PIDO UNA DEMOSTRCN PORQUE UNA DEFINICION NO TIENE QUE DEMOSTRARSE. PERO SI PUEDEN DEMOSTRAR QUE SI DOS MATRICES SON SEMEJANTES ENTONCES SE CUMPLE LA DEF O BIEN SI SE CUMPLE LA DEF ENTONCES DEMOSTRAR QUE SON SEMEJANTES.

  2. Cris dice

    16 junio, 2020 en 1:27 am

    Hola que tal, tengo una duda y creo que esto se relaciona.
    Si tengo dos matrices hermíticas A y B con los mismos eigenvalores, puedo saber si A y B están relacionadas por alguna matriz de similaridad???

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Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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