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Álgebra y Geometría Analítica

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Última vez actualizado 29 junio, 2019 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 758 comentarios

Regiones del plano complejo

A continuación veremos una serie de ejemplos que muestran cómo se puede graficar una región del plano complejo que cumple con ciertas condiciones.

Ejemplo 1

Hallar la región del plano complejo determinada por:
\[\left\{ {z \in \mathbb{C}\;:\;\;\;\left| {z + 2} \right| \le 1} \right\}\]

Resolución

Si \(z = x + yi\) , resulta:

\[\left| {x + yi + 2} \right| \le 1\]

\[\left| {\left( {x + 2} \right) + yi\;} \right| \le 1\]

\[\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} \le 1\]

Observación importante: La unidad imaginaria no interviene en el cálculo del módulo:

\[\left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]

Elevando al cuadrado ambos miembros:
\[{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} \le 1\]

Podemos sustituir el símbolo de \( \le \) por el de \( = \) para obtener la frontera o borde de la región:
\[{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1\]

Ésta es la ecuación de una circunferencia con centro en \(\left( { – 2,0} \right)\) y radio 1.

Veamos una gráfica de la región:

Región del plano complejo

Son todos los puntos que están a distancia menor o igual que 1 del punto (-2,0)

Ejemplo 2

Hallar la región del plano complejo determinada por:
\[\left\{ {z \in \mathbb{C}\;\;:\;\;\;\left| z \right| \le 2\;\;,\;\;\frac{\pi }{2} \le \arg \left( z \right) \le \frac{3}{4}\pi } \right\}\]

Resolución

Esta región está definida utilizando la expresión trigonométrica de un número complejo. \(\left| z \right| \le 2\) quiere decir que el módulo debe ser menor o igual a 2, y la otra condición establece que el argumento está entre \(\pi /2\) y \(3/4\pi \).

Luego:

región del plano complejo

Observación: \(z = \left( {0,0} \right)\) no está incluido, porque no tiene argumento.

Ejemplo 3

Hallar la región del plano complejo determinada por:

    \(\left\{ {z \in \mathbb{C}\;\;:\;\;\;\left| {z + i} \right| \le 2\;\;,\;\;\frac{\pi }{2} \le \arg \left( z \right) \le \frac{3}{4}\pi } \right\}\)

Resolución

Esta región está definida utilizando la expresión trigonométrica de un número complejo. \(\left| {z + i} \right| \le 2\)representa al círculo con centro en \( – i\) de radio 2. La otra condición establece que el argumento está comprendido entre \(\pi /2\) y \(3/4\pi \).

Luego la intersección entre ambas regiones es:

Noten que \(z = 0\) no está incluido porque no tiene argumento.

Observación: un error muy común es indicar el ángulo dado por \(\frac{\pi }{2} \le \arg \left( z \right) \le \frac{3}{4}\pi \) con vértice en el centro de la circunferencia:

Ejemplo 4

\[\left\{ {z \in \mathbb{C}\;:\;\;\;\left| {z + i} \right| = \left| {z – 1} \right|\;\;,\;\;Re\left( z \right) > 1} \right\}\]

Resolución
Razonamiento analítico

\[\left| {x + iy + i} \right| = \left| {x + iy – 1} \right|\]

\[\left| {\;x + i\left( {y + 1} \right)} \right| = \left| {\;\left( {x – 1} \right) + iy\;} \right|\]

Calculamos el módulo de cada complejo:
\[\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}} \;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;x > 1\]

\[{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2}\;\;\;\;,\;\;\;\;\;x > 1\]

\[{x^2} + {y^2} + 2y + 1 = {x^2} – 2x + 1 + {y^2}\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;x > 1\]

\[2y + 1 = – 2x + 1\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;x > 1\]

\[y = – x\;\;\;,\;\;x > 1\]

Interpretación geométrica

Si \(a,b \in \mathbb{R}\) entonces \(\left| {a – b} \right|\) representa la distancia entre \(a\) y \(b\).

Análogamente se puede definir la distancia en \(\mathbb{C}\). Sean \({z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\) entonces \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) es la distancia entre \({z_1}\) y \({z_2}\).

Luego \(\left| {z + i} \right| = \left| {z – \left( { – i} \right)} \right|\)representa la distancia entre \(z\) y \( – i\).

Y \(\left| {z – 1} \right|\) representa la distancia entre \(z\) y \(1\).

La ecuación\(\left| {z + i} \right| = \left| {z – 1} \right|\)caracteriza al conjunto de números complejos que están a igual distancia de\(\left( { – i} \right)\) que de \(1\).

Traducido a \({\mathbb{R}^2}\), se trata del conjunto de puntos del plano que equidistan de \(A\left( {0,\; – 1} \right)\) y \(B\left( {1,0} \right)\), o sea, es la mediatriz del segmento \(AB\). Considerando la restricción \(Re\left( z \right) > 1\), se obtiene la gráfica anterior.

Ejemplo 5

Hallar la región del plano complejo determinada por:
\[Im\left( {z – i} \right) = Re\left( {z + 1} \right)\]

Resolución

Escribiremos al número complejo \(z\) como \(x + yi\):
\[Im\left( {x + iy – i} \right) = Re\left( {x + iy + 1} \right)\]
\[y – 1 = x + 1\]
\[y = x + 2\]

Veamos una gráfica de la región (que es sencillamente la recta \(y = x + 2)\):

Ejemplo 6

Hallar la región del plano complejo determinada por:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {z – i} \right| + \left| {z + i} \right| = 4}\\{0 \le Arg\left( z \right) \le \pi }\end{array}} \right.\]

Resolución

\[\left| {x + yi – i} \right| + \left| {x + yi + i} \right| = 4\]
\[\sqrt {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = 4\]
\[\sqrt {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} = 4 – \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \]

Elevamos al cuadrado a ambos miembros:
\[{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = {4^2} + {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} – 8\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \]
\[{y^2} – 2y + 1 = {4^2} + {y^2} + 2y + 1 – 8\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \]

\[ – 4y – 16 = – 8\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \]

\[\frac{{y + 4}}{2} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \]

Volvemos a elevar al cuadrado a ambos miembros:
\[{\frac{{\left( {y + 4} \right)}}{4}^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\]

\[{\left( {y + 4} \right)^2} = 4{x^2} + 4{\left( {y + 1} \right)^2}\]

\[{y^2} + 8y + 16 = 4{x^2} + 4{y^2} + 8y + 4\]

\[0 = 4{x^2} + 3{y^2} – 12\]

\[12 = 4{x^2} + 3{y^2}\}

\[\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]

Se trata de la ecuación de una elipse con eje focal vertical y centrada en \(\left( {0,0} \right)\):

Pero también debe ser:
\[0 \le Arg\left( z \right) \le \pi \]

Luego no es toda la elipse sino aquel arco que cumple con que el argumento está comprendido entre 0 y \(\pi \):

Interpretación geométrica

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {z – i} \right| + \left| {z + i} \right| = 4}\\{0 \le Arg\left( z \right) \le \pi }\end{array}} \right.\]

\(\left| {z – i} \right|\): representa la distancia de\(\;\;z\) a \(i\)

\(\left| {z + i} \right|\): representa la distancia de \(\;z\) a -\(i\)

Es decir que la suma de esas distancias debe ser constante, e igual a 4.

Traducido a \({\mathbb{R}^2}\), es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos: \(\left( {0,1} \right)\) y \(\left( {0,\; – 1} \right)\) es igual a 4. De acuerdo con lo que hemos visto en la unidad de cónicas, se trata de la elipse de focos \(\left( {0,1} \right)\) y \(\left( {0,\; – 1} \right)\) y semieje mayor \(a\; = \;2\).

Para hallar el semieje menor aplicamos la relación: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) , a partir de la cual se obtiene \(b = \sqrt 3 \) .

Ejercicio para el lector 5

Hallar analíticamente y graficar la región del plano complejo definida por:

\[\{ z \in C:\;\;\left| {z – 2i} \right| < 2\;\;,\;\;Im\left( {{z^2}} \right) \le 0\;\;,\;\;\;\frac{\pi }{4} \le \arg \left( z \right) \le \frac{{3\pi }}{4}\;\;\} \]

Videos relacionados con regiones del plano complejo

 

Archivado en:Números complejos, Parte 2

Interacciones con los lectores

Comentarios

  1. Nacho dice

    11 diciembre, 2017 en 3:44 pm

    Mil gracias por este contenido, Federico e Isabel. Sin ésta página no creo que podría haber aprobado! Piensan hacer lo mismo con otras materias?

    Se nota todo el trabajo que le pusieron, y se aprecia MUCHÍSIMO! Son unos genios.

  2. Isabel dice

    15 diciembre, 2017 en 10:09 am

    Hola Nacho!
    ¡Muchas gracias por tu comentario tan gratificante! ¡Qué bueno que los materiales te hayan sido útiles!
    Respecto de otras materias, sé que hay proyectos en curso pero los responsables de concretarlos son los profesores de esas materias.
    ¡Felicitaciones por haber aprobado!
    Saludos y felices fiestas!
    Isabel

  3. Sergio Sanz dice

    25 febrero, 2018 en 3:56 pm

    ¿Con qué software están dibujados los gráficos?
    Gracias

  4. j8 dice

    21 marzo, 2018 en 1:38 am

    muchas gracias¡

  5. Isabel Pustilnik y Federico Gómez dice

    22 marzo, 2018 en 7:08 pm

    Sergio, gracias por comentar. Los gráficos están hechos con GeoGebra (es libre y gratuito).

  6. Manolo dice

    1 junio, 2018 en 7:29 pm

    Saludos y gracias por el contenido! Esto le falta a mi catedra! (UNICEN)

  7. emmanuel hench dice

    17 enero, 2019 en 7:01 pm

    muchas gracias por el material, esta bien explicado,buen trabajo

  8. Agustin Morales dice

    28 marzo, 2019 en 9:29 pm

    hola soy de la Universidad Nacional del Comahue , Neuquen Capital , fue de mucha ayuda esta pagina web . ya que algunos temas son mejor explicados que libros de texto . saludos

  9. gustavo dice

    14 marzo, 2020 en 6:20 am

    excelente!!!!!!!1

  10. Julio Cordero dice

    27 junio, 2020 en 1:17 pm

    Un material de excelente calidad didáctica. Gracias

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Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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