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Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
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Última vez actualizado 30 octubre, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 653 comentarios

Segundo Parcial Resuelto de AGA [31-10-2015]

Enunciado del Segundo Parcial de Álgebra y Geometría Analítica [31-10-2015]

https://aga.frba.utn.edu.ar/wp-content/uploads/2016/12/enunciado-parcial-2-31-10-2015.png

Resolución en video

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Resolver la siguiente ecuación en \(\mathbb{C}\):   \({x^3} + \frac{{1 + i}}{{1 – i}} = 0\)

RESOLUCIÓN

Despejamos \({x^3}\) y realizamos la división de complejos multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador:

\[{x^3} =  – \frac{{1 + i}}{{1 – i}}.\left( {\frac{{1 + i}}{{1 + i}}} \right) =  – \frac{{1 + 2i + {i^2}}}{{1 – {i^2}}} =  – \frac{{2i}}{2} =  – i\]

Debemos hallar entonces las raíces cúbicas de \( – i\).

\( – i\) es el complejo de módulo 1, y argumento principal \(\frac{3}{2}\pi \).

Lo escribimos en forma trigonométrica:

\[{x^3} =  – i = 1.\left( {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) + isen\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right)} \right)\]

Ahora aplicamos la fórmula de las raíces enésimas de un complejo (leer más sobre esto acá):

\[\sqrt[3]{{ – 1}} = \sqrt[3]{{\left| { – 1} \right|}}.\left( {\cos \left( {\frac{{Arg\left( { – 1} \right) + 2k\pi }}{3}} \right) + i.{\rm{sen}}\left( {\frac{{Arg\left( { – 1} \right) + 2k\pi }}{3}} \right)} \right)\;\;\;\;\;k = 0,1,2\]

\[{x_k} = 1\left( {\cos \left( {\frac{{\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi }}{3}} \right) + isen\left( {\frac{{\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi }}{3}} \right)} \right){\rm{\;\;\;\;\;}}k = 0,1,2\]

\[{x_0} = 1\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + isen\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right) = i\]

\[{x_1} = 1\left( {\cos \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right) + isen\left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)} \right) =  – \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}{\rm{\;\;i\;}}\]

\[{x_2} = 1\left( {\cos \left( {\frac{{11\pi }}{6}} \right) + isen\left( {\frac{{11\pi }}{6}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}\;i\]

Entonces el conjunto solución es:

\[S = \left\{ {i,\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}\;i, – \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}{\rm{\;\;i\;}}} \right\}\]

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Comentarios

  1. Martin Etchemendigaray dice

    26 septiembre, 2017 en 4:15 pm

    Hola! Buenos días,
    Si en el ejercicio uno, en la parte de la parametrización, yo elijo al revés, es decir, a la parte de la x le asigno el Seno y a la parte de la Y el coseno, ¿el rango en el que «vive» el parámetro cambia, no? Ya que te quedaría que el seno de t tiene que ser mayor que 0, lo que ocurre cuando t «vive» entre 0 y PI.

    Gracias y muy buenos los videos!

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Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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