Diagonalización ortogonal de matrices simétricas

Matriz ortogonal

¿Qué característica tiene una matriz ortogonal? Que la traspuesta de la matriz es igual a la inversa: \[P \in {\mathbb{R}^{n \times n}}{\rm{\;es\;ortogonal\;}} \Leftrightarrow {P^{ – 1}} = {P^T}\] Una matriz \(P \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es ortogonal si y sólo si:

• Sus columnas son ortogonales entre sí
• El módulo (norma) de cada columna es 1

Otra forma de decirlo:

• Las columnas deben ser versores ortogonales.

Consideremos el siguiente ejemplo: \[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{ – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)\] Esta matriz es ortogonal. Verifiquen que efectivamente sus columnas son ortogonales y de módulo 1.

Otro ejemplo: \[Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{5}}&{ – \frac{4}{5}}\\{\frac{4}{5}}&{\frac{3}{5}}\end{array}} \right)\] Esta matriz también es ortogonal. Verifíquenlo.

Ejemplo

Consideremos la matriz simétrica: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&4\end{array}} \right)\] Vamos a hacer una diagonalización ortogonal de esta matriz. Los autovalores son: \[\lambda = 0 \vee \lambda = 5\]

El autoespacio asociado a \(\lambda = 5\) queda: \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 4}&2\\2&0\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}} \right) \Rightarrow {S_5} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right)} \right\}\] Y el autoespacio asociado a \(\lambda = 0\) queda: \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&4\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}} \right) \Rightarrow {S_0} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}\\1\end{array}} \right)} \right\}\] Comprobemos que son perpendiculares los autovectores obtenidos: \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}\\1\end{array}} \right) = 1.\left( { – 2} \right) + 2.1 = 0\] No es casual que los autovectores que hemos obtenido sean perpendiculares:

En las matrices simétricas, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Ya tenemos dos vectores perpendiculares. \[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 2}\\2&1\end{array}} \right)\] Con esta matriz \(P\) puedo diagonalizar a la matriz \(A\): \[\;{P^{ – 1}}AP = D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5&0\\0&0\end{array}} \right)\] Ésta es una diagonalización de A, similar a otros ejemplos previos. Pero precisamente por ser A simétrica, los autoespacios son rectas ortogonales. Por lo tanto, podríamos diagonalizar la matriz A mediante una Q ortogonal (columnas ortogonales y de módulo 1) ¿Cuál sería la matriz \(Q\)? Falta que los vectores columna sean versores. Para lograr esto hay que dividir cada autovector por su módulo. Tienen módulo igual a \(\sqrt 5 \): \[Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}&{ – \frac{2}{{\sqrt 5 }}}\\{\frac{2}{{\sqrt 5 }}\;}&{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right)\] Esta matriz es ortogonal: \({Q^T} = {Q^{ – 1}}\). Entonces la diagonalización ortogonal de la matriz \(A\) queda: \[{Q^{ – 1}}AQ = {Q^T}AQ = D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5&0\\0&0\end{array}} \right)\]

Diagonalización ortogonal

Definición: Una matriz \(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es diagonalizable ortogonalmente si y sólo si existe \(P\) ortogonal (\({P^{ – 1}} = {P^T}\)) tal que \({P^T}.A.P = D\).

Puede demostrarse que toda matriz simétrica es ortogonalmente diagonalizable. Pero además, las únicas matrices reales que pueden diagonalizarse ortogonalmente son las matrices simétricas. En resumen: