Diagonalización de una transformación lineal

Autovalores y autovectores de una transformación lineal

Si \(V\) fuera un espacio de matrices, entonces \(v\) sería una matriz. Nosotros vamos a trabajar en \(V = {\mathbb{R}^n}\)

Propiedad

Sea \(T:{\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}\) tal que \(A = M{\left( T \right)_{EE}}\), entonces:

\(\lambda \) es autovalor de \(T \Leftrightarrow \) \(\lambda \) es autovalor de \(A\)

Demostración

Por ser \(A\) la matriz estándar resulta:

\[T\left( v \right) = A.v\;\;{\rm{con}}\;\;v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{{x_2}}\\ \vdots \end{array}}\\{{x_n}}\end{array}} \right)\]

\(\lambda \) es autovalor de \(T\) \( \Leftrightarrow \) \(\exists v \in {\mathbb{R}^n}\) no nulo tal que \(T\left( v \right) = \lambda .v\) \(\; \Leftrightarrow \) \(\;\exists v \in {\mathbb{R}^{nx1}}\) no nulo tal que \(A.v = \lambda .v\) \(\; \Leftrightarrow \) \(\;\lambda \) es autovalor de \(A\).

Probamos que en una TL en \({\mathbb{R}^n}\), los autovalores y autovectores de la transformación son los mismos que los de su matriz asociada en base canónica.

Definición de transformación lineal diagonalizable

Ejemplo

Dada la transformación lineal:

\[T:{\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^2}|\;T\left( {\left( {x,y} \right)} \right) = \left( {x + 2y,3y} \right)\]

Hallar autovectores y autovalores de \(T\), y analizar si es diagonalizable.

Resolución

1) Buscamos la matriz de \(T\) en la base canónica.

\[A = M{\left( T \right)_{EE}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&3\end{array}} \right)\]

\[\lambda = 1 \vee \lambda = 3\]

\[{S_1} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right)} \right\}\]

\[{S_3} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\end{array}} \right)} \right\}\]

3) \(A\) es diagonalizable, con

\[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&1\end{array}} \right)\;\;\;y\;\;\;\;D = {P^{ – 1}}.A.P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&3\end{array}} \right)\]

Veamos que representa D:

\(B = \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {1,1} \right)} \right\}\) es una base de \({\mathbb{R}^2}\) formada por autovectores de \(T\),

¿Cómo se busca la matriz asociada a una transformación lineal?

\[M{\left( T \right)_{BB}} = \left( {\left[ {T\left( {{v_1}} \right){]_B}\;\;\;\;} \right[T\left( {{v_2}} \right){]_B}\;} \right)\]

Entonces esas coordenadas son:

\[T\left( {\left( {1,0} \right)} \right) = \left( {1,0} \right) = 1.\left( {1,0} \right) + 0.\left( {1,1} \right)\;\; \Rightarrow {\left[ {\left( {1,0} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right)\]

\[T\left( {\left( {1,1} \right)} \right) = \left( {3,3} \right) = 0.\left( {1,0} \right) + 3.\left( {1,1} \right)\;\; \Rightarrow {\left[ {\left( {3,3} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\3\end{array}} \right)\]

Así que la matriz queda:

\[M{\left( T \right)_{BB}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&3\end{array}} \right) = D\]

Entonces, si tenemos una base \(B\) formada por autovectores de \(T\), ¡la matriz asociada en esa base es diagonal!

Propiedad

Ejercicio para el lector 5

a) Sea \(T:{\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}\) una transformación lineal. Probar:

Si \(Nu\left( T \right) \ne \left\{ {{0_{{\mathbb{R}^n}}}} \right\}\) entonces \(\lambda = 0\) es un autovalor de \(T\) y el autoespacio correspondiente es \(Nu\left( T \right)\)

b) Sea \(T:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^3}\) una transformación lineal que verifica las siguientes condiciones:

i) \(T\left( v \right) = 2v\;\;\forall v \in S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;\;|\;x – z = 0\;} \right\}\)

ii)  \(Nu\left( T \right) = gen\left\{ {\left( {1,0,0} \right)} \right\}\)

Analizar si existe una base \(B\) de \({\mathbb{R}^3}\) tal que la matriz asociada a \(T\) respecto de dicha base sea diagonal. En caso afirmativo indicar \(B\) y \(M{\left( T \right)_{BB}}\).