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Álgebra y Geometría Analítica

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      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
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      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
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      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
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Última vez actualizado 19 mayo, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez Dejar un comentario

Diagonalización de una transformación lineal

Autovalores y autovectores de una transformación lineal

Sea \(T:V \to V\) una transformación lineal:

\(\lambda \in \mathbb{R}\) es autovalor de \(T\) si y sólo si \(\exists v \in V\) no nulo, tal que \(T\left( v \right) = \lambda .v\)

\(v\) es el autovector asociado a \(\lambda \). Si \(V\) fuera un espacio de polinomios, entonces \(v\) sería un polinomio.

Si \(V\) fuera un espacio de matrices, entonces \(v\) sería una matriz. Nosotros vamos a trabajar en \(V = {\mathbb{R}^n}\)

Propiedad

Sea \(T:{\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}\) tal que \(A = M{\left( T \right)_{EE}}\), entonces:

\(\lambda \) es autovalor de \(T \Leftrightarrow \) \(\lambda \) es autovalor de \(A\)

Demostración

Por ser \(A\) la matriz estándar resulta:

\[T\left( v \right) = A.v\;\;{\rm{con}}\;\;v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{{x_2}}\\ \vdots \end{array}}\\{{x_n}}\end{array}} \right)\]

\(\lambda \) es autovalor de \(T\) \( \Leftrightarrow \) \(\exists v \in {\mathbb{R}^n}\) no nulo tal que \(T\left( v \right) = \lambda .v\) \(\; \Leftrightarrow \) \(\;\exists v \in {\mathbb{R}^{nx1}}\) no nulo tal que \(A.v = \lambda .v\) \(\; \Leftrightarrow \) \(\;\lambda \) es autovalor de \(A\).

Probamos que en una TL en \({\mathbb{R}^n}\), los autovalores y autovectores de la transformación son los mismos que los de su matriz asociada en base canónica.

Definición de transformación lineal diagonalizable

Sea \(T:V \to V\) una transformación lineal. Decimos que \(T\) es diagonalizable si existe alguna base \(B\) tal que la matriz \({M_{BB}}\left( T \right)\) es diagonal.

Ejemplo

Dada la transformación lineal:

\[T:{\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^2}|\;T\left( {\left( {x,y} \right)} \right) = \left( {x + 2y,3y} \right)\]

Hallar autovectores y autovalores de \(T\), y analizar si es diagonalizable.

Resolución

1) Buscamos la matriz de \(T\) en la base canónica.

\[A = M{\left( T \right)_{EE}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&3\end{array}} \right)\]

2) Buscamos autovalores y autovectores de \(A\)

\[\lambda = 1 \vee \lambda = 3\]

\[{S_1} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right)} \right\}\]

\[{S_3} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\end{array}} \right)} \right\}\]

3) \(A\) es diagonalizable, con

\[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&1\end{array}} \right)\;\;\;y\;\;\;\;D = {P^{ – 1}}.A.P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&3\end{array}} \right)\]

Veamos que representa D:

\(B = \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {1,1} \right)} \right\}\) es una base de \({\mathbb{R}^2}\) formada por autovectores de \(T\),

¿Cómo se busca la matriz asociada a una transformación lineal?

\[M{\left( T \right)_{BB}} = \left( {\left[ {T\left( {{v_1}} \right){]_B}\;\;\;\;} \right[T\left( {{v_2}} \right){]_B}\;} \right)\]

Entonces esas coordenadas son:

\[T\left( {\left( {1,0} \right)} \right) = \left( {1,0} \right) = 1.\left( {1,0} \right) + 0.\left( {1,1} \right)\;\; \Rightarrow {\left[ {\left( {1,0} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right)\]

\[T\left( {\left( {1,1} \right)} \right) = \left( {3,3} \right) = 0.\left( {1,0} \right) + 3.\left( {1,1} \right)\;\; \Rightarrow {\left[ {\left( {3,3} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\3\end{array}} \right)\]

Así que la matriz queda:

\[M{\left( T \right)_{BB}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&3\end{array}} \right) = D\]

Entonces, si tenemos una base \(B\) formada por autovectores de \(T\), ¡la matriz asociada en esa base es diagonal!

Propiedad

Una TL en \({\mathbb{R}^n}\) es diagonalizable si y sólo si existe una base \(B\) de \({\mathbb{R}^n}\) formada por autovectores de \(T\). En tal caso, \(M{\left( T \right)_{BB}} = \;D\).

Desde la perspectiva matricial, \(T\) es diagonalizable si y sólo si \(A = M{\left( T \right)_{EE}}\) es diagonalizable.

Ejercicio para el lector 5

a) Sea \(T:{\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}\) una transformación lineal. Probar:

Si \(Nu\left( T \right) \ne \left\{ {{0_{{\mathbb{R}^n}}}} \right\}\) entonces \(\lambda = 0\) es un autovalor de \(T\) y el autoespacio correspondiente es \(Nu\left( T \right)\)

b) Sea \(T:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^3}\) una transformación lineal que verifica las siguientes condiciones:

i) \(T\left( v \right) = 2v\;\;\forall v \in S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;\;|\;x – z = 0\;} \right\}\)

ii)  \(Nu\left( T \right) = gen\left\{ {\left( {1,0,0} \right)} \right\}\)

Analizar si existe una base \(B\) de \({\mathbb{R}^3}\) tal que la matriz asociada a \(T\) respecto de dicha base sea diagonal. En caso afirmativo indicar \(B\) y \(M{\left( T \right)_{BB}}\).

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Unidad 3

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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