• Ir al contenido principal
  • Ir a la barra lateral primaria
  • Ir al pie de página

Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Última vez actualizado 14 noviembre, 2018 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 2 comentarios

Segundo Parcial Resuelto de AGA [10-11-2018]

Enunciado del segundo parcial de álgebra [10-11-2018]

Ejercicio 1

Sea la transformación lineal \(T:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^3}\) tal que  \(M{\left( T \right)_{BE}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ – 1}&0\\3&{ – 3a}&1\\0&0&2\end{array}} \right)\), siendo las bases \(B = \left\{ {\left( {2,\;0,\;0} \right),\;\left( {0, – 1,\;0} \right),\;\left( {0,\;0,\;1} \right)} \right\}\) y \(E\) canónica de \({\mathbb{R}^3}\)

a) Hallar los valores de ¿\({\rm{a}} \in \mathbb{R}\) tal que \(\dim Nu\left( T \right) = 1\)?

b) Para \(a = – 1\) analizar justificando si \(\left( { – 4, – 2,\;0} \right) \in Nu\left( T \right)\)

Resolución del ejercicio 1

Resolución en video:

Ejercicio 2

Determinar si las siguientes afirmaciones son V o F. Justificar la respuesta.

a) \(T:V \to V\) es una transformación lineal tal que \(\dim \left( {Nu\left( T \right)} \right) > 1 \Rightarrow T\) es biyectiva

b) \(\alpha \in \mathbb{R}\) es un autovalor de la matriz \(A\) \( \Rightarrow \) el sistema de ecuaciones \(\left( {A – \alpha I} \right)X = 0\) admite sólo la solución trivial.

Resolución del ejercicio 2

Ítem a

Sabemos que \(T\) es una transformación lineal de \(V\) a \(V\). Es decir que el dominio y codominio son el mismo conjunto (y tienen la misma dimensión).

Entonces podemos usar el teorema que afirma que:

Sea \(F:V \to W\) una \(TL\), \(dim\left( V \right) = dim\left( W \right) = n\) Puede afirmarse que: \(F\) es inyectiva ⇔ \(F\) es sobreyectiva ⇔ \(F\) es biyectiva.

Para que sea biyectiva debería ser inyectiva.

Pero por otra parte sabemos que una TL es inyectiva \( \Leftrightarrow \)  \(Nu\left( T \right) = \left\{ {{0_V}} \right\}\)

Como \(\dim \left( {Nu\left( T \right)} \right) > 1\),\(\;T\) no es inyectiva, y entonces tampoco es biyectiva.

La afirmación es falsa.

Ítem b

Si \(\alpha \) es autovalor, esto significa que \(\left( {A – \alpha I} \right).X = 0\) es un sistema compatible indeterminado (las infinitas soluciones son los autovectores de \(A\) asociados a \(\alpha \).

La afirmación es falsa.

Que el sistema \(\left( {A – \alpha I} \right).X = 0\) es SCI se basa en la definición de autovalor. Buscamos los infinitos vectores no nulos que se transforman en un múltiplo escalar de sí mismos.

Para más detalle leer la explicación sobre autovalores y autovectores.

Ejercicio 3

Si \(M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&1&2\\0&a&0\\1&{ – 1}&2\end{array}} \right)\), hallar los valores de \(a\) para los cuales la matriz \(M\) es diagonalizable.

Resolución ejercicio 3

Recordemos que para determinar si una matriz \(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es diagonalizable debemos determinar si tiene \(n\) autovectores linealmente independientes.

Para eso vamos a hallar sus autovalores. Después analizar el autoespacio asociado a los autovalores. Y de esa forma vamos a saber si se puede o no obtener tres vectores linealmente independientes.

Los autovalores se obtienen resolviendo la ecuación característica de la matriz:

\[det\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3 – \lambda }&1&2\\0&{a – \lambda }&0\\1&{ – 1}&{2 – \lambda }\end{array}} \right) = \left( {3 – \lambda } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a – \lambda }&0\\{ – 1}&{2 – \lambda }\end{array}} \right| + 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{a – \lambda }&0\end{array}} \right| = 0\]

\[ = \left( {3 – \lambda } \right)\left( {a – \lambda } \right)\left( {2 – \lambda } \right) + 1.\left( { – 2.\left( {a – \lambda } \right)} \right) = 0\]

\[ = \left( {3 – \lambda } \right)\left( {a – \lambda } \right)\left( {2 – \lambda } \right) + \left( { – 2} \right)\left( {a – \lambda } \right) = 0\]

\[ = \left( {a – \lambda } \right).\left[ {\left( {3 – \lambda } \right)\left( {2 – \lambda } \right) – 2} \right] = 0\]

\[ = \left( {a – \lambda } \right).\left[ {6 – 5\lambda  + {\lambda ^2} – 2} \right] = 0\]

\[ = \left( {a – \lambda } \right).\left[ {4 – 5\lambda  + {\lambda ^2}} \right] = 0\]

\[ = \left( {a – \lambda } \right).\left( {\lambda  – 1} \right).\left( {\lambda  – 4} \right) = 0\]

Los autovalores son:

\[\lambda  = a \vee \lambda  = 1 \vee \lambda  = 4\]

Sabemos que autovalores diferentes están asociados a autovectores LI.

Así que si \(a \ne 1 \wedge a \ne 4\), la martiz es diagonalizable.

Pero ¿si \(a = 1\) o si \(a = 4\)? ¿Qué ocurre? Tenemos que analizarlo.

Si \(a = 1\), entonces \(\lambda  = 1\) será autovalor doble. Tendremos que analizar la dimensión del autoespacio asociado.

Si \(a = 4\), entonces \(\lambda  = 4\) será autovalor doble. Tendremos que analizar la dimensión del autoespacio asociado.

Caso \(a = 1\).

\[Autovectores\;de\;M:\;\;\;1\;\left( {doble} \right)\;\;4\;\left( {simple} \right)\]

Autoespacio asociado a \(\lambda  = 1\) (autovalor doble).

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&1&2\\0&0&0\\1&{ – 1}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\{\begin{array}{*{20}{c}}y\\z\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\end{array}} \right)\]

La dimensión del autoespacio asociado a \(\lambda  = 1\) es igual a 1.

No coinciden dimensión algebraica y geométrica. No se puede hallar tres autovectores LI. No es diagonalizable la matriz para \(a = 1.\)

Caso \(a = 4\).

\[Autovectores\;de\;M:\;\;\;1\;\left( {simple} \right)\;\;4\;\left( {doble} \right)\]

Autoespacio asociado a \(\lambda  = 4\) (autovalor doble).

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&1&2\\0&0&0\\1&{ – 1}&{ – 2}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\{\begin{array}{*{20}{c}}y\\z\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\end{array}} \right)\]

La dimensión del autoespacio asociado a \(\lambda  = 4\) es igual a 2.

Coinciden dimensión algebraica y geométrica. Se puede hallar tres autovectores LI. La matriz M es diagonalizable la matriz para \(a = 4.\)

Ejercicio 4

Sea la ecuación:  \({x^2} + A{y^2} + {z^2} – 2z = 0\)

a) Hallar el/los valores de A para los cuales corresponda a una superficie cilíndrica.

b) Para \(A = \frac{1}{4}\) identificar y graficar la superficie. Identifique la intersección de la superficie con el plano \(y = 2\) e identifíquelo en el gráfico.

Resolución del ejercicio 4

Ítem a

La ecuación de una superficie cilíndrica es tal que le “falta” una de las variables.

Por ejemplo:

\({x^2} + {y^2} = 1\;\)Es un cilindro circular con eje paralelo al eje \(z\) (“falta” la letra z en la ecuación).

\({x^2} – {z^2} = 1\) es un cilindro hiperbólico con eje paralelo al eje y (“falta” la letra y en la ecuación).

Considerando esto… la única forma de que la expresión \({x^2} + A{y^2} + {z^2} – 2z = 0\) represente una superficie cilíndrica es que \(A = 0\) para que falte la \(y\) de la ecuación.

Ítem b

Reemplazamos \(A = \frac{1}{4}\) en la ecuación:

\[{x^2} + \frac{1}{4}{y^2} + {z^2} – 2z = 0\]

Completamos cuadrados en \(z\):

\[{x^2} + \frac{1}{4}{y^2} + {z^2} – 2z + 1 – 1 = 0\]

\[{x^2} + \frac{1}{4}{y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} – 1 = 0\]

\[{x^2} + \frac{1}{4}{y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\]

Es la ecuación de un elipsoide centrado en \(\left( {0,0,1} \right)\).

Gráfica Elipsoide

 

Ejercicio 5

Determinar el conjunto de puntos del plano complejo que satisfacen:

\(\left| {Z – \left( {3 – 4i} \right)} \right| \le 2\)   y    \(Im\left( Z \right) \le  – 4\)     \(Z \in \mathbb{C}\)

Representar gráficamente.

Resolución del ejercicio 5

Una forma de pensarlo consiste en:

Escribir a \(z\) en forma binómica:

\[z = x + i.y\]

Identificar su parte real y su parte imaginaria:

\[Re\left( z \right) = Re\left( {x + i.y} \right) = x\]

\[Im\left( z \right) = Im\left( {x + i.y} \right) = y\]

Reemplazar en las condiciones dadas:

\(\left| {x + i.y – \left( {3 – 4i} \right)} \right| \le 2\)   y    \(y \le  – 4\)

Agrupar parte real e imaginaria dentro de la expresión del módulo:

\(\left| {\left( {x – 3} \right) + i.\left( {y + 4} \right)} \right| \le 2\)   y    \(y \le  – 4\)

Calcular el módulo del complejo:

\(\sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2}}  \le 2\)   y    \(y \le  – 4\)

Elevar al cuadrado a ambos miembros para obtener la ecuación de un círculo:

\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – \left( { – 4} \right)} \right)^2} \le 4\)   y    \(y \le  – 4\)

La expresión \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – \left( { – 4} \right)} \right)^2} \le 4\) representa un círculo centrado en (3,-4) con radio 2. Incluye el borde y el interior. La expresión \(y \le  – 4\) es un semiplano: el de los puntos que tienen parte imaginaria menor a -4. El semiplano de los puntos en los que \(y \le  – 4\). Las dos condiciones juntas determinan la mitad de un círculo:

 

Artículos relacionados:

  • Información sobre el curso segundo cuatrimesre 2020
  • Información sobre el curso de verano 2021
  • Información sobre el curso primer cuatrimesre 2021

Archivado en:Sin categoría

Interacciones con los lectores

Comentarios

  1. José dice

    5 julio, 2019 en 2:30 pm

    El ejercicio 4 no está terminado

  2. Aracely dice

    8 septiembre, 2019 en 4:15 pm

    Hola, en el ejercicio 4 inciso b,ya con la expresión de la elipsoide no faltaria hacer la intersección con el plano y=2?

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Lo siento, debes estar conectado para publicar un comentario.

Barra lateral primaria

Actualizaciones recientes

  • Primer Parcial Resuelto de AGA [13-09-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [21-06-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [10-11-2018]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [23-06-2018]
  • Primer Parcial Resuelto de AGA [05-05-2018]

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Categorías

  • Aplicaciones de la diagonalización
  • Autovalores y autovectores
  • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
  • Espacios vectoriales
  • Matrices y determinantes
  • Números complejos
  • Parte 1
  • Parte 2
  • Primer parcial resuelto
  • Segundo parcial resuelto
  • Sin categoría
  • Sistemas de ecuaciones
  • Transformaciones lineales
  • Vectores, recta y plano.

Descarga de PDFs

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Unidad 3

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

Empezar Unidad 3

Footer

Buscá en el sitio

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Realizado en UTN FRBA

UDB Matemática – Ciencias Básicas – Secretaría Académica

Licencia Creative Commons

Licencia Creative Commons
Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución – No Comercial – Sin Obra Derivada 4.0 Internacional.

Los gifs

Los GIFs del material teórico

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Descargas en PDF

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Webs relacionadas

Proba Fácil con contenidos de probabilidad y estadística

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Copyright © 2023 · Digital Pro On Genesis Framework · WordPress · Iniciar sesión

  • Parte 1
  • Parte 2
  • Exámenes
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error