• Ir al contenido principal
  • Ir a la barra lateral primaria
  • Ir al pie de página

Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Última vez actualizado 25 junio, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 6 comentarios

Rototraslación de cónicas

Diagonalización de matrices simétricas

Habíamos visto (en autovalores y autovectores) algunas propiedades de las matrices simétricas que retomaremos aquí para poder aplicarlas al estudio de las cónicas.

Si \(A \in {\mathbb{R}^{nxn}}\) es simétrica ( \(A = {A^t}\) ), entonces se verifican las siguientes propiedades:

  1. Todos sus autovalores son reales.d
  2. \({\lambda _1} \ne {\lambda _2} \Rightarrow {v_1} \bot {v_2}\) (autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales)
  3. \(A\) es ortogonalmente diagonalizable, es decir:
    \[A\;simétrica \Rightarrow \exists P\;ortogonal\;|\;\;{P^{ – 1}}A\;P = {P^t}A\;P = D\]

Nota: Recordemos que \(P \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es ortogonal si y sólo sí \({P^t} = {P^{ – 1}}\). Las matrices ortogonales se caracterizan porque sus columnas son vectores ortogonales y de norma (módulo) 1.

Ejemplo 2

Calculemos la diagonalización de la matriz:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\4&9\end{array}} \right)\)

El lector puede verificar que sus autovalores y autoespacios son:

\[\lambda = 11\;\;\;,\;\;\;{S_{11}} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right)} \right\}\]

\[\lambda = 1\;\;\;,\;\;\;\;{S_1} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}\\1\end{array}} \right)} \right\}\]

Observamos que los autoespacios son ortogonales (propiedad de las simétricas). Podemos construir la matriz P (cuyas columnas son los autovectores) que permite diagonalizar \(A\) :

\[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 2}\\2&1\end{array}} \right)\]

\[{P^{ – 1}}AP = D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&0\\0&1\end{array}} \right)\]

Si bien las columnas de \(P\) son ortogonales, \(P\) no es una matriz ortogonal porque sus columnas no tienen módulo 1. Nos falta normalizar los autovectores, o sea obtener sus versores asociados:

,rototraslacion de conicas

Entonces podemos diagonalizar \(A\) mediante una matriz \(Q\) ortogonal:

\[Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}&{\frac{{ – 2}}{{\sqrt 5 }}}\\{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right)\]

Esta matriz sí verifica:

rototraslacion - diagonalizacion ortogonal

Ejercicio para el lector 1

Encontrar una matriz \(A \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\) simétrica que verifique las siguientes condiciones:

\[A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\4\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}6\\8\end{array}} \right)\;\;\;y\;\;\;det\left( A \right) = – 2\]

Sugerencia: Tener en cuenta que \({\lambda _1}\;.{\lambda _2} = det\left( A \right)\)

Rototraslación de cónicas

Ejemplo 0

Dada la ecuación en \({\mathbb{R}^2}\): \(3{x^2} + 9{y^2} = 6\)

Podemos identificar, por los signos de los coeficientes, que corresponde a una elipse cuya ecuación canónica es:

\[\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{2}{3}}} = 1\]

Ejemplo 1: una elipse rotada

Nos interesa descubrir qué curva está representada por la siguiente ecuación:

\[3{x^2} + 8xy + 9{y^2} = 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]

Aparece en esta ecuación el término \(8xy\), denominado término rectangular o de producto cruzado.

Usamos GeoGebra para obtener la gráfica de esta cónica:

Observamos que se trata de una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes coordenados. Veremos a continuación cómo hallar las direcciones de esos ejes para obtener la ecuación canónica e identificar analíticamente la cónica.

Retomemos la ecuación [1]:

\[3{x^2} + 8xy + 9{y^2} = 6\]

Esta ecuación puede expresarse matricialmente como sigue:

\[\left( {x\;\;y} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\\{}&{}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 6\]

Los coeficientes de \({x^2}\) y de \({y^2}\) van en la diagonal:

\[\left( {x\;\;y} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&{}\\{}&9\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 6\]

Y el coeficiente del término rectangular se divide por dos para completar una matriz simétrica:

\[\left( {x\;\;y} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\4&9\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]

Verifiquemos que efectivamente se obtiene lo mismo:

\[\left( {x\;\;y} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\4&9\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 6\]

\[ \Rightarrow \;\left( {3x + 4y\;\;\;\;\;4x + 9y} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 6\]

\[ \Rightarrow \left( {3x + 4y} \right)x + \left( {4x + 9y} \right)y = 6\]

\( \Rightarrow 3{x^2} + 8xy + 9{y^2} = 6\) ¡Verificado!

La expresión \(3{x^2} + 8xy + 9{y^2}\) se denomina forma cuadrática y la matriz simétrica que la caracteriza es \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\4&9\end{array}} \right)\).

Por ser \(A\) una matriz simétrica, es ortogonalmente diagonalizable.

Como habíamos visto en un ejemplo anterior:

\[Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}&{\frac{{ – 2}}{{\sqrt 5 }}}\\{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right)\;\;;\;\;D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&0\\0&1\end{array}} \right)\]

\[{Q^t}AQ = D\]

La matriz Q, cuyas columnas son autovectores unitarios de A, representa un cambio de base como veremos a continuación.

Recordatorio sobre cambio de base

Se puede leer lo que escribimos sobre cambio de base acá.

Tomemos un par de bases del mismo espacio vectorial \(V\):

\(B = \left\{ {{v_1}, \ldots ,{v_n}} \right\}\) y \({\rm{\;}}B’ = \left\{ {{w_1}, \ldots ,{w_n}} \right\}\)

Construyamos la matriz asociada a la transformación lineal identidad:

\[M{\left( {Id} \right)_{BB{\rm{‘}}}} = \left( {{{\left[ {{v_1}} \right]}_{B’}},{\rm{\;}} \ldots ,{\rm{\;}}{{\left[ {{v_n}} \right]}_{B’}}} \right) \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\]

Esta matriz, llamada matriz de cambio de base de \(B\) a \(B’\) , permite pasar de coordenadas en \(B\) a coordenadas en \(B’\) :

\[M{\left( {Id} \right)_{BB’}}.{\left[ v \right]_B} = {\left[ v \right]_{B’}}\]

Si consideramos las bases \(B = \left\{ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }},\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right),\left( { – \frac{2}{{\sqrt 5 }},\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)} \right\}\) ,\(B’ = E\) (base canónica de \({\mathbb{R}^2}\)) y llamamos:

rototraslacion de conicas 2

 

Resulta:

\[Q = M{\left( {Id} \right)_{BE}}\]

Por lo tanto:

\[Q\;{\left[ v \right]_B} = {\left[ v \right]_E}\]

\[Q\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right)\]

Trasponemos ambos miembros de la igualdad:

\[\left( {\;x\;\;\;\;\;y} \right) = \left( {x’y’} \right){Q^t}\]

Sustituimos en [1]:

\[\left( {x\;\;\;y} \right)\;A\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 6\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\left( {{x^{‘\;}}y’} \right){Q^t}AQ\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) = 6\]

Como \(Q\) es ortogonal, se verifica:

\[{Q^t}AQ = {Q^{ – 1}}AQ = D\]

Y entonces la ecuación de la cónica en el nuevo sistema de coordenadas es:

\[\left( {x’y’} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&0\\0&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) = 6\]

\[11{x’^2} + 1{y’^2} = 6\]

Observamos que representa una elipse cuya ecuación canónica es:

\[\frac{{{{x’}^2}}}{{\frac{6}{{11}}}} + \frac{{{{y’}^2}}}{6} = 1\]

¿Cómo se grafica esta elipse?

El cambio de base que realizamos define un nuevo sistema de ejes ortogonales. Las columnas de \(Q\) indican dirección y sentido positivo de estos nuevos ejes.

rototraslacion elipse 1

A continuación generalizaremos el método de eliminación de productos cruzados que hemos aplicado en el ejemplo anterior.

Eliminación de productos cruzados

Dada la ecuación en \({\mathbb{R}^2}\):

eliminacion de productos cruzados

1) Buscamos la expresión matricial de la forma cuadrática:

\[a{x^2} + bxy + c{y^2} = \left( {x\;\;\;y} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&{\frac{b}{2}}\\{\frac{b}{2}}&c\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]

La matriz \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&{\frac{b}{2}}\\{\frac{b}{2}}&c\end{array}} \right)\) es la matriz simétrica que caracteriza a la forma cuadrática.

2) Diagonalizamos ortogonalmente la matriz de la forma cuadrática:

Como la matriz es simétrica, es ortogonalmente diagonalizable. Entonces \(\exists Q\;\)ortogonal tal que \({Q^t}A\;Q = D\). La matriz \(Q\) la obtenemos con los autovectores normalizados.

eliminacion de productos cruzados w

Como las columnas de \(Q\) son perpendiculares y unitarias (de norma 1), se verifica que \({Q^t} = {Q^{ – 1}}\).

3) La matriz \(Q\) hallada nos permite proponer un cambio de base o de coordenadas:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = Q\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right)\;\; \Rightarrow \;\;\;\left( {x\;\;\;\;y} \right) = \left( {x’y’} \right){Q^t}\]

4) Reemplazamos en [1]:


\[\left( {x’y’} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0\\0&{{\lambda _2}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) = k\]

\[{\lambda _1}{x’^2} + {\lambda _2}{y’^2} = k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 2 \right]\;\;\;\;\]

Con este procedimiento pudimos eliminar el término de producto cruzado, obteniendo la ecuación de la cónica en el nuevo sistema de coordenadas.

Ejemplo 2: una hipérbola rotada

Hallar la ecuación canónica y graficar la cónica dada por la ecuación:

\[{x^2} + 4xy + {y^2} = 9\]

Resolución

El término de producto cruzado \(4xy\) indica que la cónica está rotada respecto de los ejes canónicos.

1) Buscamos la expresión matricial:
\[\left( {x\;\;y} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 9\]

2) Diagonalizamos ortogonalmente la matriz de la forma cuadrática\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right)\;:\)

Dejamos a cargo del lector comprobar que los autovalores son:

\[\lambda = – 1\;\;,\;\;\;\lambda = 3\]

Y los autoespacios:

\[{S_{ – 1}} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ – 1}\end{array}} \right)} \right\}\;\;\;,\;\;\;{S_3} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\end{array}} \right)} \right\}\]

Con los autovectores hallados podemos armar la matriz \(Q\) ortogonal (de columnas ortogonales y de módulo 1):

eliminacion productos cruzados 3

Recordemos que las columnas de \(Q\) indican la dirección y sentido positivo de los nuevos ejes e .

3) La matriz \(Q\) hallada nos permite proponer un cambio de base o de coordenadas:

cambio de coordenadas rototraslacion

4) Reemplazamos en la expresión matricial:

roto traslacion hiperbola

\[ – {x’^2} + 3{y’^2} = 9\]

\[ – \frac{{{{x’}^2}}}{9} + \frac{{{{y’}^2}}}{3} = 1\]

Ésta es la ecuación canónica de una hipérbola de eje focal \(y’\), cuya gráfica es:

¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la hipérbola respecto de la base canónica?

Las bases de los dos sistemas de coordenadas que estamos utilizando son:

\[B = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}} \right)} \right\}\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;\;B’ = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{ – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)} \right\}\]

De la ecuación canónica se deduce:

Coordenadas de los vértices en \(B’ = \pm \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\sqrt 3 }\end{array}} \right)\)

Realicemos el cambio de coordenadas:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = Q\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right)\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{ – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ \pm \sqrt 3 }\end{array}} \right) = \pm \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)\]

Éstas son las coordenadas de los vértices de la hipérbola respecto de la base canónica.

Ejercicio para el lector 2

Dada la ecuación:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\end{array}} \right)A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 4\)   con   \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\2&5\end{array}} \right)\)

a) Obtener la ecuación canónica e identificar la cónica correspondiente. ¿Cuál es la dirección del eje focal de dicha cónica?

b) Considerando la misma \(A\), analizar qué lugar geométrico representa la ecuación \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\end{array}} \right)\;A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = k\) para: \(k > 0\;,\;\;k = 0\;\;,\;\;k < 0\)

Ejemplo 3: roto-traslación de una cónica

Consideremos la siguiente ecuación:

\[{x^2} + 4xy + {y^2} + 6x – 9y = 9\]

Nos interesa saber qué cónica representa y graficarla.

[Window Title] esif_assist_64.exe [Main Instruction] esif_assist_64.exe dejó de funcionar [Content] Windows está buscando una solución al problema... [Cancelar]

El término de producto cruzado señala que la cónica está rotada respecto de los ejes canónicos.

Además, como habíamos visto en la unidad anterior, los términos lineales indican que posiblemente sea necesario realizar una traslación (completando cuadrados) para identificar y graficar la cónica.

1) Buscamos la expresión matricial:

\[\left( {x\;\;y} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) + \left( {6\;\; – 9} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 9\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]

Les sugerimos comprobar que se obtiene la ecuación dada.

Generalizando, la escritura matricial de los términos lineales es la siguiente:

\[dx + ey = \left( {d\;\;\;\;\;\;e} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right)\]

2) Diagonalizamos ortogonalmente la matriz de la forma cuadrática \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right)\)

3) La matriz \(Q\) hallada nos permite proponer un cambio de base o de coordenadas:

Estos dos pasos ya se hicieron en el ejemplo anterior, siendo:

\(Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{–\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)\)    ,    \({\rm{\;}}D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{–1}&0\\0&3\end{array}} \right)\)

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = Q.\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\left( {x\;\;\;y} \right) = \left( {x’y’} \right){Q^t}\]

4) Reemplazamos en la expresión matricial [1]:

\[\left( {x’y’} \right){Q^t}AQ\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) + \left( {6\;\; – 9} \right)\;Q\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right)\]

\[\left( {x’y’} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&0\\0&3\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) + \left( {6\;\; – 9} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{ – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right)\]

\[\left( {{x^{‘\;}}y’} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&0\\0&3\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) + \left( {\frac{{15}}{{\sqrt 2 }}\;\;\;\;\;\; – \frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right)\]

\[ – {x’^2} + 3{y’^2} + \frac{{15}}{{\sqrt 2 }}x’ – \frac{3}{{\sqrt 2 }}y’ = 9\]

Observamos que los términos lineales se modifican por el cambio de base realizado.

Hasta aquí, pudimos eliminar el término de producto cruzado definiendo un nuevo sistema de ejes paralelos a los ejes de la cónica.

5) Efectuamos una traslación para obtener la ecuación canónica.

Tal como habíamos visto en la unidad anterior, el método de completar cuadrados nos permite ubicar el centro o el vértice de la cónica y obtener su ecuación canónica.

\[ – {x’^2} + \frac{{15}}{{\sqrt 2 }}x’ + 3{y’^2} – \frac{3}{{\sqrt 2 }}y’ = 9\]

\[ – \left[ {{{\left( {x’ – \frac{{15}}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{15}}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \right] + 3\left[ {{{\left( {y’ – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \right] = 9\]

\[ – \left[ {{{\left( {x’ – \frac{{15}}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} – \frac{{225}}{8}} \right] + 3\left[ {{{\left( {y’ – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} – \frac{1}{8}} \right] = 9\]

\[ – {\left( {x’ – \frac{{15}}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{225}}{8} + 3{\left( {y’ – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} – \frac{3}{8} = 9\]

\[ – {\left( {x’ – \frac{{15}}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + 3{\left( {y’ – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} = – \frac{{75}}{4}\]

\[\frac{{{{\left( {x’ – \frac{{15}}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}{{\frac{{75}}{4}}} – \frac{{{{\left( {y’ – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}{{\frac{{25}}{4}}} = 1\]

Obtuvimos la ecuación ordinaria de una hipérbola que tiene las siguientes características:

1. Está rotada respecto de los ejes canónicos. Las direcciones y sentidos positivos de los nuevos ejes \(x’\;y’\;\) están dadas por las columnas de \(Q\), como habíamos visto.

2. De acuerdo con los signos en la ecuación, el eje focal es paralelo al eje \(x’\).

3. Las coordenadas del centro de la hipérbola en el sistema \(x’\;y’\) son:

\[\alpha = \frac{{15}}{{2\sqrt 2 }}\;\;\;;\;\;\;\beta = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\]

Para obtener la ecuación canónica, planteamos las ecuaciones de traslación:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x» = x’ – \frac{{15}}{{2\sqrt 2 }}}\\{y» = y’ – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \;\;\;\frac{{{{x»}^2}}}{{\frac{{75}}{4}}} – \frac{{{{y»}^2}}}{{\frac{{25}}{4}}} = 1\]

\[semieje\;real = \frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cong 4,33\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;semieje\;imaginario = \frac{5}{2} = 2,5\]

Con esta información podemos realizar un gráfico aproximado de la hipérbola. Primero indicaremos los tres sistemas de ejes:

Ahora ya podemos realizar la gráfica de la hipérbola:

¿Cómo podríamos hallar las coordenadas del centro de la hipérbola respecto de la base canónica?

hiperbola rotada

rototraslacion - ejemplo 3

Ejemplo 4: rototraslación de una parábola

Consideremos la ecuación:

\[{x^2} – 2xy + {y^2} + \sqrt 2 x – 2\sqrt 2 y = 0\]

Nos interesa hallar la ecuación canónica y graficar la cónica correspondiente.

Resolución

1) Escribimos la forma cuadrática matricialmente:

\[\left( {x\;\;y} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1}\\{ – 1}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) + \left( {\sqrt 2 \;\;\;\;\;\; – 2\sqrt 2 } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 0\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]

2) Diagonalizamos ortogonalmente y planteamos las ecuaciones de rotación:

\[Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{ – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)\;\;\;,\;\;\;D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&2\end{array}} \right)\;\;\;,\;\;\]

3) La matriz \(Q\) hallada nos permite proponer un cambio de base o de coordenadas:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = Q\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right)\;\;\;,\;\;\;\;\left( {x\;\;\;\;y} \right) = \left( {x’y’} \right){Q^t}\]

4) Reemplazamos en [1]:

\[\left( {x’y’} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&2\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) + \left( {\sqrt 2 \;\;\;\;\;\; – 2\sqrt 2 } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{ – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) = 0\]

\[\left( {0\;\;\;\;\;2y’} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) + \left( { – 1\;\;\;\;\;\; – 3} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x’}\\{y’}\end{array}} \right) = 0\]

\[2{y’^2} – x’ – 3y’ = 0\]

Cómo aparece \({y’^2}\) y no aparece \({x’^2}\) suponemos que será una parábola.

Trataremos de expresarlo como\({\left( {y’ – \beta } \right)^2} = 4c\left( {x’ – \alpha } \right)\):

\[2{y’^2} – 3y’ = x’\]

\[2\left[ {{{y’}^2} – \frac{3}{2}y’} \right] = x’\]

\[2\left[ {{{\left( {y’ – \frac{3}{4}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} \right] = x’\]

\[2{\left( {y’ – \frac{3}{4}} \right)^2} = x’ + \frac{9}{8}\]

\[{\left( {y’ – \frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {x’ + \frac{9}{8}} \right)\]

\[\alpha = – \frac{9}{8}\;\;\;;\;\;\;\beta = \frac{3}{4}\]

Ahora realizamos un gráfico de la parábola indicando los tres sistemas de ejes:

Rototraslación parábola - Gráfico

Cómo \(4c = \frac{1}{2} > 0\), la parábola se abre hacia el semieje positivo de \(x»\).

Le proponemos al lector que busque las coordenadas del vértice en la base canónica.

Ejercicio para el lector 3

Sea \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\2&5\end{array}} \right)\), obtener la ecuación canónica y graficar la cónica dada por la ecuación:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\end{array}} \right)\;A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{6\sqrt 5 }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) = 1\]

Nota: ver ejercicio para el lector 2, la matriz \(A\) es la misma.

Clasificación de las cónicas según autovalores

Sea la ecuación en \({\mathbb{R}^2}\):

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\end{array}} \right)\;A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) + \left( {d\;\;\;\;e} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right) + f = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\) con \(A \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\) simétrica

De acuerdo con los diferentes ejemplos desarrollados, podemos concluir que los autovalores de la matriz \(A\) permiten identificar el lugar geométrico correspondiente:

clasificacion de conicas segun autovalores

¿Rotación pura o composición de rotación y simetría?

Al diagonalizar una matriz simétrica de \({\mathbb{R}^{2 \times 2}}\) se obtienen dos autovectores ortogonales. ¿Qué efecto tiene el orden de los autovectores en la matriz \(Q\) sobre el nuevo sistema de ejes?

Veamos las diferencias entre los desarrollos indicados en cada columna:



A los fines de eliminar el término rectangular para reconocer la cónica, cualquiera de las dos formas es válida. Pero es usual trabajar con una matriz \(Q\) tal que \(\det \left( Q \right) = 1\), que caracteriza a una rotación pura.

Ejercicio para el lector 4

En el siguiente gráfico se ven las direcciones de los ejes y la medida del semieje mayor y semieje menor de una elipse rotada:


Tomando la información proporcionada en el gráfico, se pide hallar la ecuación de la elipse en términos de \(x\) e \(y\).

Sugerencia: pensar que se trata de resolver el problema inverso al habitual.

Videos relacionados con Rototraslación

Artículos relacionados:

  • Información sobre el curso de verano 2021
  • Información sobre el curso segundo cuatrimesre 2020
  • Información sobre el curso primer cuatrimesre 2021

Archivado en:Aplicaciones de la diagonalización, Parte 2

Interacciones con los lectores

Comentarios

  1. Alexander dice

    4 noviembre, 2017 en 12:24 am

    Saludos desde Quito Ecuador, he revisado este material y es muy bueno pero quisiera saber si hay la posibilidad que se haga ejercicios de cónicas usando la derivada parcial, sobre todo para encontrar el nuevo centro.

    Por esto y el gran amor a la matemática espero su confirmación

  2. Federico Gómez dice

    5 noviembre, 2017 en 2:04 pm

    Alexander, gracias por el comentario. El sitio es para compartir contenidos de álgebra y geometría analítica de UTN. En esa materia no se ven derivadas parciales. Así que no vamos a publicar eso. Tal vez te interese ver http://analisis2.com/. Saludos!

  3. Alexander dice

    3 diciembre, 2017 en 9:58 pm

    Muchas gracias, por sus aportes a la matemática , es un medio el cual nos permite desarrollar mas habilidades y competencias.

  4. Franklin Gavilán dice

    23 noviembre, 2018 en 3:05 am

    gracias por compartir este tema, me fue de gran ayuda espero aprobar el examen final
    xd

  5. Juan Carlos dice

    7 agosto, 2019 en 1:11 pm

    ¡Excelente exposición! De gran utilidad para muchos de nosotros. Gracias

  6. Pucheta dice

    2 abril, 2020 en 3:00 am

    Muy buen material. Para recordar las clases de Algebra y Geometría Analítica que impartía mi profesora la Lic. Beatriz Olivetto hace 30 años en la FRBA, una gran docente a la cual recuerdo.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Lo siento, debes estar conectado para publicar un comentario.

Barra lateral primaria

Actualizaciones recientes

  • Primer Parcial Resuelto de AGA [13-09-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [21-06-2019]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [10-11-2018]
  • Segundo Parcial Resuelto de AGA [23-06-2018]
  • Primer Parcial Resuelto de AGA [05-05-2018]

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Categorías

  • Aplicaciones de la diagonalización
  • Autovalores y autovectores
  • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
  • Espacios vectoriales
  • Matrices y determinantes
  • Números complejos
  • Parte 1
  • Parte 2
  • Primer parcial resuelto
  • Segundo parcial resuelto
  • Sin categoría
  • Sistemas de ecuaciones
  • Transformaciones lineales
  • Vectores, recta y plano.

Descarga de PDFs

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Unidad 3

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

Empezar Unidad 3

Footer

Buscá en el sitio

Comentarios recientes

  • FEDERICO en Introducción a vectores en R3
  • Julián Oter en Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
  • Alan en Producto escalar en R3
  • RONY en Hipérbola
  • YANIS YULEISI PENATA BENITEZ en Espacios y subespacios vectoriales

Realizado en UTN FRBA

UDB Matemática – Ciencias Básicas – Secretaría Académica

Licencia Creative Commons

Licencia Creative Commons
Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución – No Comercial – Sin Obra Derivada 4.0 Internacional.

Los gifs

Los GIFs del material teórico

Archivos

  • septiembre 2019
  • junio 2019
  • noviembre 2018
  • julio 2018
  • mayo 2018
  • noviembre 2017
  • septiembre 2017
  • junio 2017
  • abril 2017
  • diciembre 2016
  • noviembre 2016
  • octubre 2016
  • septiembre 2016
  • agosto 2016

Descargas en PDF

  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 1
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 2
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 3
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 4
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 5
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 6
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 7
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 8
  • PDF Unidad 9
  • PDF Unidad 9

Webs relacionadas

Proba Fácil con contenidos de probabilidad y estadística

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
      • Parcial 1
        • 24-05-2015
        • 12-02-2016
        • 22-04-2017
        • 09-09-2017
        • 05-05-2018
        • 13-09-2019
      • Parcial 2
        • 21-06-2019
        • 10-11-2018
        • 23-06-2018
        • 04-11-2017
        • 10-06-2017
        • 13-06-2015
        • 31-10-2015
    • Finales
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error

Copyright © 2023 · Digital Pro On Genesis Framework · WordPress · Iniciar sesión

  • Parte 1
  • Parte 2
  • Exámenes
  • Info 2021 (primer cuatrimestre)
  • Contactanos!
  • Reportá un error