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Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Inicio
  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
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      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
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Última vez actualizado 1 septiembre, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez

Haz de planos

Sean \({\pi _1}\) y \({\pi _2}\) dos planos no paralelos:

\[{\pi _1}:\;\;{a_1}\;x + {b_1}\;y + {c_1}\;z + {d_1} = 0\]

\[{\pi _2}:\;\;{a_2}\;x + {b_{2\;}}y + {c_2}\;z + {d_2} = 0\]

La intersección de dos planos no paralelos es una recta. Se denomina haz de planos al conjunto de planos que pasan por dicha recta. Uno podría imaginarse al haz de planos como si fueran las hojas de un libro abierto:

gif008-haz-de-planos

Puede demostrarse que la ecuación del haz de planos que pasan por la recta de intersección entre \({\pi _1}\;y\;\;{\pi _2}\;\;\)es la siguiente:

\[{k_1}\left( {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1}} \right) + {k_2}\left( {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2}} \right) = 0\;\;\;\;\;,\;\;\;{k_1},{k_2} \in \mathbb{R}\]

\[Haz\;de\;planos\;que\;pasan\;por\;la\;recta\;\;\;r = {\pi _1} \cap {\pi _2}\]

Para cada par de valores de \({k_1}\) y \({k_2}\) se obtiene un plano que pasa por la recta \(r\).

Si \({k_1}\; = 0\) y \({k_2} \ne 0\), se obtiene la ecuación del plano \({\pi _2}.\)

Si \({k_2} = 0\) y \({k_1} \ne 0\), se obtiene la ecuación del plano \({\pi _1}\).

Si suponemos que alguna de las constantes es diferente de cero, por ejemplo \({k_1} \ne 0\) , podemos dividir la ecuación del haz por\({k_1}\):

\[\frac{{{k_1}}}{{{k_1}}}\left( {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1}} \right) + \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}\left( {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2}} \right) = 0\]

Y renombrando \(\frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = k\) queda:

\[\left( {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1}} \right) + k\left( {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2}} \right) = 0\]

Esta expresión se llama haz reducido. ¿De dónde proviene el nombre de «reducido»?

Falta \({\pi _2}\;\) porque \({\pi _2}\) se corresponde con \({k_1} = 0\). Por lo tanto, en el haz reducido están todos los planos que pasan por \(r = {\pi _1} \cap {\pi _2}\) excepto \({\pi _2}.\)

Ejemplo

Dados los planos:

\[{\pi _1}:\;x + 2y + 3z + 1 = 0\]

\[{\pi _2}:\;\;3x – 5y + z + 10 = 0\]

Encontrar la ecuación de un plano que pase por la recta de intersección entre \({\pi _1}\) y \({\pi _2}\) y que:

a) Sea paralelo al eje \(x\)

b) Sea perpendicular al plano \(x + y + z = 0\)

Se pide encontrar «un plano que pase por la recta de intersección entre \({\pi _1}\) y \({\pi _2}\)«, entonces podemos armar el haz de planos que pasa por dicha recta:

\[\alpha \left( {x + 2y + 3z + 1} \right) + \beta \left( {3x – 5y + z + 10} \right) = 0\]

Parte A

Para que el plano sea paralelo al eje \(x\) su vector normal debe ser \(\vec n = \left( {0,\;b,\;c} \right)\). O sea, el plano debe ser de la forma \(by + cz + d = 0\).

Reescribimos el haz como sigue:

haz de planos

Para que sea paralelo al eje \(x\), \(\alpha + 3\beta = 0\;\; \Rightarrow \alpha = – 3\beta \)

Reemplazando:

\[ – 11\beta y – 8\beta z + 7\beta = 0\]

\[\beta \;\left( { – 11y – 8z + 7} \right) = 0\]

\[{\pi _3}\;\;:\;\;\; – 11y – 8z + 7 = 0\]

Parte B

Ahora queremos un plano del haz que sea perpendicular al plano \(x + y + z = 0\). Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares.

Luego:

\[\left( {1,1,1} \right)\left( {\alpha + 3\beta ,2\alpha – 5\beta ,3\alpha + \beta } \right) = 0\;\]

\[6\alpha – \beta = 0\]

\[\beta = 6\alpha \]

Reemplazando:

\[19\alpha x – 28\alpha y + 9\alpha z + 61\alpha = 0\]

\[\alpha \left( {19x – 28y + 9z + 61} \right) = 0\]

\[19x – 28y + 9z + 61 = 0\]

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Unidad 3

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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