Diagonalización de una matriz

Definición de matriz diagonalizable

Es un caso especial de semejanza. Una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal.

Condiciones que tiene que cumplir una matriz para ser diagonalizable

Sean \({v_1},{v_2}, \ldots ,{v_n}\)autovectores LIde la matriz \(A \in {\mathbb{R}^{n \times \;n}}\). Podemos construir una matriz \(P\) cuyas columnas sean dichos autovectores: \[P = \left( {{v_1}\;\;\;{v_2}\; \ldots \;{v_n}} \right)\] \(P\) es inversible porque sus columnas son LI y por lo tanto tiene rango \(n\) \(\left( {det\left( P \right) \ne 0} \right)\). Puede demostrarse que: \(\;\;{P^{ – 1}}A\;P = D\;\;\;\) donde \(D\) es una matriz diagonal cuyos elementos son los respectivos autovalores: \[D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0&0\\0&{{\lambda _2}}&0&0\\0&0& \ddots &0\\0&0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right)\]

Ejemplo 1

Consideremos la matriz \(M\): \[M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ – 1}&0\\{ – 1}&3&0\\1&1&2\end{array}} \right)\] Verifiquen que los autovalores son: \(\lambda = 2\;\left( {doble} \right)\) y \(\lambda = 4\left( {simple} \right)\), y que ambos autoespacios tienen dimensión 1.

No coinciden la multiplicidad algebraica de \(\lambda = 2\) y su multiplicidad geométrica. Nos falta un autovector linealmente independiente para armar la matriz \(P\), por lo tanto la matriz \(M\) no es diagonalizable.

Ejemplo 2

Veamos si es posible diagonalizar la siguiente matriz: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\2&2\end{array}} \right)\] Verifiquen que los siguientes son sus autovalores: \[\lambda = 4\] \[\lambda = 1\] Si la matriz tiene dos autovalores distintos, sin hacer ninguna cuenta más, ¿Podemos asegurar que es diagonalizable? Sí, porque hay una propiedad que dice que los autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes. Los autovectores son: \[{v_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\end{array}} \right)\] \[{v_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ – 2}\end{array}} \right)\] Armamos la matriz \(P\) poniendo los autovectores como columnas: \[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&{ – 2}\end{array}} \right)\] La inversa de \(P\) la obtenemos haciendo: \[{P^{ – 1}} = \frac{1}{{\det \left( P \right)}}.adj\left( P \right)\] Ahora hagamos el cálculo para obtener la matriz diagonal.

Ejemplo 3

Diagonalizar la siguiente matriz si es posible: \[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&4\\2&1&{ – 4}\\0&0&3\end{array}} \right)\] Buscamos los autovalores: \[\det \left( {B – \lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 – \lambda }&2&4\\2&{1 – \lambda }&{ – 4}\\0&0&{3 – \lambda }\end{array}} \right| = \left( {3 – \lambda } \right)\left( {{{\left( {1 – \lambda \;} \right)}^2} – 4} \right)\] \[\;\lambda = 3\;\left( {doble} \right) \vee \lambda = – 1\] Atención: es un error muy común suponer que la existencia de un autovalor doble implica que la matriz no es diagonalizable.

Para \(\lambda = – 1\) buscamos el autoespacio correspondiente: \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&2&4\\2&2&{ – 4}\\0&0&4\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}x\\{\begin{array}{*{20}{c}}y\\z\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}}\end{array}} \right)\;\;\] \[\;{S_{ – 1}} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}\\0\end{array}}\end{array}} \right)} \right\}\] Verifiquen que el otro autoespacio es: \[{S_3} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}}\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right)} \right\}\] Como pudimos obtener tres autovectores linealmente independientes, la matriz \(P\) existe y la construimos ubicando a los autovectores como columna: \[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{ – 1}&{ – 1}&1\\0&1&0\end{array}} \right)\] Ésta es la matriz que permite diagonalizar a la matriz \(B\). \[{P^{ – 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}}&{ – \frac{1}{2}}&{ – 1}\\0&0&1\\{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}&0\end{array}} \right)\] La matriz diagonal correspondiente es: \[{P^{ – 1}}.A.P = D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{array}} \right)\] El orden de los autovalores en \(D\) es el mismo orden que el de los autovectores en las columnas de \(P\). Por ejemplo si construimos la matriz \(P\) así: \[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{ – 1}&{ – 1}\\0&1&0\end{array}} \right)\] Verifiquen que la matriz \(D\) queda: \[D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0&0\\0&3&0\\0&0&{ – 1}\end{array}} \right)\]

Ejemplo 4

Diagonalizar la siguiente matriz si es posible: \[C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ – 1}\\1&0\end{array}} \right)\] ¿Qué problema tiene esta matriz? ¿Cuál sería el polinomio característico? No tiene autovalores reales. Entonces no es diagonalizable en \(\mathbb{R}\). Más adelante veremos que es diagonalizable, pero en el campo de los números complejos.

Ejercicio para el lector 3

Sea: \[M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\2&a&b\\0&0&3\end{array}} \right)\] Determinar los valores de \(a\) y \(b\) de modo que \(\lambda = 3\) sea autovalor doble, y \(M\) sea diagonalizable.

Matriz con \(n\) autovalores distintos

¿Qué puede decirse de las matrices que tienen todos sus autovalores distintos? Recordemos que autovectores asociados a autovalores distintos, son LI.

Por lo tanto:

Si una matriz \(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) tiene \(n\) autovalores distintos, entonces tiene \(n\) autovectores LI y en consecuencia es diagonalizable.

Observación importante: Si una matriz es diagonalizable ¿puede afirmarse que todos sus autovalores son distintos?

Veamos el siguiente ejemplo: \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}} \right)\] Es una matriz diagonalizable porque es diagonal. Sin embargo no tiene todos sus autovalores distintos ya que \(\lambda = 1\) es un autovalor doble.

Ejercicio para el lector 4

Sea \(A \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}}\) tal que su polinomio característico es \(p\left( \lambda \right) = {\lambda ^2}.\left( {1 – \lambda } \right)\), y \(S = \left\{ {x \in {\mathbb{R}^{3 \times 1}}\;\;|\;\;{x_1} + {x_2} + {x_3} = 0} \right\}\) es un autoespacio de \(A\). Analizar si \(A\) es diagonalizable.