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Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

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      • Ángulos y distancias
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      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
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      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
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Última vez actualizado 25 junio, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 405 comentarios

Introducción a cónicas

Definición de lugar geométrico

Dada una ecuación \(F\left( {x,y} \right) = 0\) se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos \(P\left( {x,y} \right)\) de \({\mathbb{R}^2}\) que verifican la ecuación.

Ejemplo 1

Consideremos que la ecuación \(F\left( {x,y} \right) = 0\) es:

\[{x^2} – 4xy = 0\]

¿Qué tipo de lugar geométrico representa? Dicho de otro modo, ¿qué curva determinan los puntos que verifican esta ecuación? Si sacamos factor común \(x\) queda:

\[x.\left( {x – 4y} \right) = 0\;\]

¿Cuándo un producto de dos factores es igual a cero? Cuando alguno de los dos es igual a cero:

\[x = 0 \vee x = 4y\]

¿Qué representa geométricamente cada una de estas ecuaciones?

  • \(x = 0\) es la ecuación del el eje \(y\)
  • \(x = 4y\) es una recta de pendiente \(\frac{1}{4}\).

cónicas

Es decir que el lugar geométrico es un par de rectas no paralelas.

Ejemplo 2

Veamos este otro ejemplo:

\[{x^2} + {y^2} = – 4\]

No existe lugar geométrico, porque no hay ningún punto que satisfaga la ecuación (es imposible que la suma de dos cuadrados dé por resultado un número negativo).

¿Qué son las cónicas?

Apolonio, contemporáneo de Arquímedes, en el siglo III antes de Cristo, estudió con mucha profundidad las curvas cónicas. El nombre de «cónicas» les viene de que son curvas que se obtienen de cortar un cono con diferentes planos, como muestra el siguiente esquema:

El cono en el que debemos pensar continúa más allá del vértice. Una imagen más adecuada para representar las cónicas es la siguiente:

gif conicas - cono interseccion con plano

 

Las cónicas son curvas determinadas por la intersección de un cono circular recto con planos de distintas inclinaciones.

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Comentarios

  1. S dice

    16 junio, 2018 en 1:39 pm

    No me cirvio de nada

  2. ale dice

    9 septiembre, 2019 en 9:14 pm

    sirvió

  3. Daniel N. Ramírez Salazar dice

    25 octubre, 2019 en 2:01 am

    Excelente guias de trabajo para entender las conicas

  4. M. Valle dice

    18 febrero, 2020 en 12:43 pm

    Con razón no te sirvió

  5. katiuska Castellanos dice

    27 marzo, 2020 en 3:20 pm

    Buen material, Dios te Bendiga me ayudo mucho

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Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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