Parábola

Introducción

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Pero el concepto geométrico de parábola es más amplio, como veremos a continuación.

El siguiente gráfico muestra una «parábola acostada»:

Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si nosotros graficáramos en algún programa de computadora el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación \({x^2} + 2xy + {y^2} + 2x – 2y = 0\), obtendríamos la siguiente gráfica:

Para reconocer que esa gráfica efectivamente responde a la definición, características y expresión analítica de una parábola, debemos usar autovalores y autovectores. (Esto lo veremos más adelante en la Unidad 8: Aplicaciones de la diagonalización)

Definición de parábola

Simbólicamente:

\[\mathcal{P} = \left\{ {P\left( {x,y} \right){\rm{|}}\;\;d\left( {P,r} \right) = d\left( {P,F} \right)} \right\}\]

Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta ahora).

El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.

El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.

Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice son \(V\left( {0,0} \right)\), las del foco \(F\left( {c,0} \right)\) y la recta directriz está dada por \(r:x = – c\). Las coordenadas de un punto genérico \(Q\) que pertenece a la directriz son \(\left( { – c,y} \right)\).

Ahora con estos datos vamos a deducir la ecuación. Por definición:

\[d\left( {P,r} \right) = d\left( {P,F} \right)\]

Distancia entre un punto P y la directriz:

Distancia entre un punto P y el foco:

Las igualamos según lo establece la definición:

Donde los vectores y sus módulos son:

\[\overrightarrow {PQ} = \left( { – c – x,0} \right)\;\]

\[\overrightarrow {PF} = \left( {c – x, – y} \right)\]

Ahora sustituyendo y operando llegamos a:

\[\sqrt {{c^2} + 2cx + {x^2}} = \sqrt {{c^2} – 2cx + {x^2} + {y^2}} \]

\[{c^2} + 2cx + {x^2} = {c^2} – 2cx + {x^2} + {y^2}\]

Que es la ecuación canónica de la parábola con \(V\left( {0,0} \right)\;\) y eje focal \(y = 0\) (eje \(x\)).

Donde si,

\(c > 0 \Rightarrow \) Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha

\(c < 0 \Rightarrow \) Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda

Análogamente a lo desarrollado para una parábola con eje focal horizontal, se puede hacer la deducción para las parábolas con eje focal vertical. Si permutamos variables sobre la expresión canónica tenemos la expresión canónica de la parábola vertical:

Ecuación canónica de la parábola con \(V\left( {0,0} \right)\) y eje focal \(x = 0\) (eje \(y\)).

Donde si,

\(c > 0 \Rightarrow \) Las ramas de la parábola apuntan hacia la arriba

\(c < 0 \Rightarrow \) Las ramas de la parábola apuntan hacia la abajo

Coordenadas del foco: \(F\left( {0,c} \right)\)

Ecuación de la directriz \(d:\;\;\;y = – c\)

Ecuación ordinaria de la parábola

Consideremos una parábola cuyo vértice \(V\left( {\alpha ,\beta } \right)\) no coincide con el origen del sistema \(xy\) :

¿Cómo sería la ecuación de la parábola en el sistema de referencia \(xy\)? No sabemos responder esto por el momento. Pero si armamos un nuevo sistema cuyo centro coincida con \(V\), la ecuación canónica en este nuevo sistema sería:

\[{y’^2} = 4cx’\]

Debemos realizar una traslación de ejes para poder tener la ecuación escrita en el sistema \(xy\)

¿Qué coordenadas tiene el punto \(P\) respecto de cada sistema?

El punto es el mismo pero estamos modificando el sistema de referencia:

• Coordenadas de P en sistema \({\rm{\;x’y’}}\)
• Coordenadas de P en sistema \({\rm{\;xy}}\)

La relación entre los dos sistemas de coordenadas es la siguiente:

\[x’ + \alpha = x\]

\[y’ + \beta = y\]

O reordenando:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ = x – \alpha }\\{y’ = y – \beta }\end{array}} \right.\]

Éstas son las ecuaciones de traslación de ejes.

Si reemplazamos las ecuaciones de traslación en la expresión \({y^{‘2}} = 4cx’\) obtenemos la ecuación en el sistema original:

Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice \(V\left( {\alpha ,\beta } \right)\) y eje focal paralelo al eje \(x\).

Análogamente:

Es la ecuación de la parábola con vértice \(V\left( {\alpha ,\beta } \right)\) y eje focal paralelo al eje \(y\).

¿Cómo nos damos cuenta si el eje focal es vertical u horizontal? Observando cuál de las variables está elevada al cuadrado:

• Si \(y\) está al cuadrado, entonces es horizontal.
• Si \(x\) está al cuadrado, entonces es vertical.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la parábola de directriz \(x = 4\) y foco \(F\left( { – 2,0} \right)\).

Resolución

Es conveniente realizar una figura de análisis que represente los datos del enunciado:

El valor absoluto de \(c\) es la distancia del vértice al foco.

\[\left| c \right| = d\left( {V,F} \right)\]

El vértice está sobre el eje focal y a la misma distancia del foco que de la directriz:

\[V = \left( {\frac{{ – 2 + 4}}{2},0} \right) = \left( {1,0} \right)\]

Eje focal: eje \(x\)

Como el eje es horizontal la ecuación tiene la forma:

\[{\left( {y – \beta } \right)^2} = 4c\left( {x – \alpha } \right)\]

\[{\left( {y – 0} \right)^2} = 4c\left( {x – 1} \right)\]

Falta calcular el valor absoluto de \(c\).

\[\left| c \right| = d\left( {F,V} \right) = 3\]

Como el foco está a la izquierda del vértice entonces \(c = – 3\).

Entonces queda:

\[{y^2} = – 12\left( {x – 1} \right)\]

Lado recto

El lado recto es la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje focal y pasa por el foco. Se puede demostrar que la longitud del lado recto es \(\left| {4c} \right|\)

 \[\left| {LL’} \right| = \left| {4c} \right|\]

Dejamos la demostración a cargo del lector interesado.

De ecuación ordinaria a ecuación general

Partimos de la ecuación ordinaria:

\[{\left( {y – \beta } \right)^2} = 4c\left( {x – \alpha } \right)\]

Desarrollamos cuadrado de binomio:

\[{y^2} – 2\beta y + {\beta ^2} = 4cx – 4c\alpha \]

\[{y^2} – 4cx – 2\beta y + {\beta ^2} + 4c\alpha = 0\]

Renombramos los coeficientes de la ecuación así:

Ésta es la ecuación general. Observen que hay una única variable que está al cuadrado y la otra es lineal.

Les proponemos las siguientes preguntas:

• Si \(E\; = \;0\), ¿dónde está ubicado el vértice?
• ¿Cuál es la ecuación general de una parábola de eje vertical?

Ejemplo

Analizar qué lugar geométrico representa la siguiente ecuación:

\[{y^2} + 4x – 2y + 2 = 0\]

¿Qué curva representan los puntos que verifican esta ecuación? Observando que una sola de las variables está elevada al cuadrado, podemos pensar en una parábola. Deberíamos llegar al siguiente modelo:

\[{\left( {y – \beta } \right)^2} = 4c\left( {x – \alpha } \right)\]

Primero hay que completar cuadrados en y

\[{y^2} – 2y + {1^2} – {1^2} = {\left( {y – 1} \right)^2} – 1\]

Entonces

\[{\left( {y – 1} \right)^2} – 1 + 4x + 2 = 0\]

\[{\left( {y – 1} \right)^2} = – 4x – 1\]

\[{\left( {y – 1} \right)^2} = – 4\left( {x + \frac{1}{4}} \right)\]

Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola que tiene \(V\left( { – \frac{1}{4},1} \right)\) y eje focal paralelo al eje \(x\).

Ejercicio para el lector 2

Hemos visto que toda parábola de eje paralelo al eje x puede expresarse por una ecuación del tipo \({y^2} + Dx + Ey + F = 0\).

Pero… si D = 0,

1) ¿La ecuación corresponde a una parábola?

2) ¿Qué lugar geométrico representa cada una de estas ecuaciones?

a) \({y^2}\;–\;2y\; + \;2\; = \;0\)

b) \({y^2}\;–\;2y\;–\;3\; = \;0\)

Ejercicio para el lector 3

Dada la ecuación \({x^2} + 6x + ky = 0\)

¿Para qué valor de \(k\) representa una parábola cuyo vértice pertenece a la recta \(y = 6\)? Para el valor de k hallado, indiquen vértice, foco y directriz. Grafiquen.

Videos relacionados

En el video que aparece a continuación en el minuto 4 empieza la parte relativa a la gráfica de parábolas usando GeoGebra: