Diagonalización de una transformación lineal

Autovalores y autovectores de una transformación lineal

Si $V$ fuera un espacio de matrices, entonces $v$ sería una matriz. Nosotros vamos a trabajar en $V = {\mathbb{R}^n}$

Propiedad

Sea $T:{\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}$ tal que $A = M{\left( T \right)_{EE}}$, entonces:

$\lambda$ es autovalor de $T \Leftrightarrow$ $\lambda$ es autovalor de $A$

Demostración

Por ser $A$ la matriz estándar resulta:

$$T\left( v \right) = A.v\;\;{\rm{con}}\;\;v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{{x_2}}\\ \vdots \end{array}}\\{{x_n}}\end{array}} \right)$$

$\lambda$ es autovalor de $T$ $\Leftrightarrow$ $\exists v \in {\mathbb{R}^n}$ no nulo tal que $T\left( v \right) = \lambda .v$ $\; \Leftrightarrow$ $\;\exists v \in {\mathbb{R}^{nx1}}$ no nulo tal que $A.v = \lambda .v$ $\; \Leftrightarrow$ $\;\lambda$ es autovalor de $A$.

Probamos que en una TL en ${\mathbb{R}^n}$, los autovalores y autovectores de la transformación son los mismos que los de su matriz asociada en base canónica.

Definición de transformación lineal diagonalizable

Ejemplo

Dada la transformación lineal:

$$T:{\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^2}|\;T\left( {\left( {x,y} \right)} \right) = \left( {x + 2y,3y} \right)$$

Hallar autovectores y autovalores de $T$, y analizar si es diagonalizable.

Resolución

1) Buscamos la matriz de $T$ en la base canónica.

$$A = M{\left( T \right)_{EE}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&3\end{array}} \right)$$

$$\lambda = 1 \vee \lambda = 3$$

$${S_1} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right)} \right\}$$

$${S_3} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\end{array}} \right)} \right\}$$

3) $A$ es diagonalizable, con

$$P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&1\end{array}} \right)\;\;\;y\;\;\;\;D = {P^{ – 1}}.A.P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&3\end{array}} \right)$$

Veamos que representa D:

$B = \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {1,1} \right)} \right\}$ es una base de ${\mathbb{R}^2}$ formada por autovectores de $T$,

¿Cómo se busca la matriz asociada a una transformación lineal?

$$M{\left( T \right)_{BB}} = \left( {\left[ {T\left( {{v_1}} \right){]_B}\;\;\;\;} \right[T\left( {{v_2}} \right){]_B}\;} \right)$$

Entonces esas coordenadas son:

$$T\left( {\left( {1,0} \right)} \right) = \left( {1,0} \right) = 1.\left( {1,0} \right) + 0.\left( {1,1} \right)\;\; \Rightarrow {\left[ {\left( {1,0} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right)$$

$$T\left( {\left( {1,1} \right)} \right) = \left( {3,3} \right) = 0.\left( {1,0} \right) + 3.\left( {1,1} \right)\;\; \Rightarrow {\left[ {\left( {3,3} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\3\end{array}} \right)$$

Así que la matriz queda:

$$M{\left( T \right)_{BB}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&3\end{array}} \right) = D$$

Entonces, si tenemos una base $B$ formada por autovectores de $T$, ¡la matriz asociada en esa base es diagonal!

Propiedad

Ejercicio para el lector 5

a) Sea $T:{\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}$ una transformación lineal. Probar:

Si $Nu\left( T \right) \ne \left\{ {{0_{{\mathbb{R}^n}}}} \right\}$ entonces $\lambda = 0$ es un autovalor de $T$ y el autoespacio correspondiente es $Nu\left( T \right)$

b) Sea $T:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^3}$ una transformación lineal que verifica las siguientes condiciones:

i) $T\left( v \right) = 2v\;\;\forall v \in S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;\;|\;x – z = 0\;} \right\}$

ii)  $Nu\left( T \right) = gen\left\{ {\left( {1,0,0} \right)} \right\}$

Analizar si existe una base $B$ de ${\mathbb{R}^3}$ tal que la matriz asociada a $T$ respecto de dicha base sea diagonal. En caso afirmativo indicar $B$ y $M{\left( T \right)_{BB}}$.