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Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
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Matrices y determinantes

En el Módulo B del Seminario de Ingreso se estudiaron sistemas de ecuaciones lineales (características, formas de resolución y clasificación).  Como método de resolución se aplicó principalmente el método de eliminación de Gauss, basado en operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada del sistema.

En esta segunda unidad retomaremos estos temas con mayor profundidad a partir del estudio de las matrices y sus determinantes.

En relación con los temas vistos en la primera unidad, aquí podrá apreciarse la conexión que existe entre la Geometría de rectas y planos y los sistemas lineales. Por un lado, la Geometría permite interpretar los sistemas y por otro, algunos problemas geométricos se traducen a través de un sistema lineal.

Los conceptos que se desarrollarán en esta unidad a su vez constituyen una herramienta fundamental para la comprensión de la teoría de los espacios vectoriales, transformaciones lineales y diagonalización.

matrices-determinantes

Objetivos:

-Realizar las operaciones básicas del álgebra matricial.

-Identificar matrices especiales y conocer sus propiedades.

-Caracterizar matrices inversibles.

-Utilizar las matrices en el modelado de problemas.

-Evaluar determinantes.

-Reconocer y aplicar las propiedades básicas de los determinantes

-Utilizar determinantes para decidir si una matriz es inversible.

-Calcular la matriz inversa mediante la adjunta.

-Relacionar matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

-Analizar sistemas lineales de n x n mediante determinantes.

matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Última vez actualizado 6 junio, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 5 comentarios

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Introducción Habíamos visto que una recta en \({\mathbb{R}^3}\) puede definirse a través de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Por ejemplo: \[r:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + z = 1}\\{x - y - z = 3}\end{array}} \right.\] Este sistema puede expresarse de un modo sencillo como un producto de matrices, como …

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determinante de una matriz

Última vez actualizado 23 agosto, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 5 comentarios

Determinante de una matriz

Introducción Vimos previamente que no todas las matrices son inversibles. ¿Cómo podemos saber si una matriz tiene inversa? El determinante de una matriz proporciona información para responder a esta pregunta. Cuando vimos producto vectorial y mixto, habíamos definido determinantes de orden 2 y de orden 3. Recordamos aquí las fórmulas …

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matrices

Última vez actualizado 24 julio, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 11 comentarios

Matrices

Conceptos básicos Definición de Matriz Una matriz \(A\) de \(m \times n\) es un ordenamiento rectangular de escalares dispuestos en \(m\) filas y \(n\) columnas. Para designar a cada uno de los \(m.n\) elementos de la matriz se utiliza un doble subíndice que indica el número de fila y número de columna que le corresponde en el arreglo: \[A = …

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Unidad 3

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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