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Álgebra y Geometría Analítica

Contenidos de Álgebra para UTN-FRBA

  • Parte 1
    • Vectores, recta y plano
      • Introducción a vectores en R3
      • Producto escalar en R3
      • Producto vectorial y mixto
      • Ecuaciones del plano
      • Ángulos y distancias
      • Haz de planos
      • Recta en ({mathbb{R}^3})
      • Recta y plano: intersecciones y ángulos
      • Distancias y proyecciones
    • Matrices y determinantes
      • Matrices
      • Determinante de una matriz
      • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    • Espacios vectoriales
      • Espacios y subespacios vectoriales
      • Conjunto generador. LI y LD. Base. Dimensión.
      • Operaciones con subespacios
    • Sistemas de ecuaciones
      • Rango y sistemas de ecuaciones lineales
      • Relaciones entre soluciones de AX=B y AX=0. Variables libres.
  • Parte 2
    • Transformaciones lineales
      • Definición y propiedades de las transformaciones lineales
      • Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.
      • Teorema fundamental de las transformaciones lineales
      • Matriz asociada a una transformación lineal
      • Composición e inversa de transformaciones lineales
      • Matriz de cambio de base
    • Autovalores y autovectores
      • Autovalores y autovectores: definiciones y propiedades
      • Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
      • Matrices semejantes
      • Diagonalización de una matriz
      • Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
      • Diagonalización de una transformación lineal
    • Cónicas, parametrización y superficies cuádricas
      • Introducción a cónicas
      • Circunferencia
      • Parábola
      • Elipse
      • Hipérbola
      • Ecuaciones paramétricas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)
    • Aplicaciones de la diagonalización
      • Potencias de una matriz diagonalizable
      • Rototraslación de cónicas
    • Números complejos
      • Definición y operaciones de números complejos en forma binómica
      • Operaciones en forma trigonométrica y exponencial
      • Radicación de números complejos
      • Regiones del plano complejo
  • Exámenes
    • Parciales
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Vectores, recta y plano.

En esta primera unidad de Álgebra y Geometría Analítica trabajaremos con vectores en R3, extendiendo al espacio tridimensional las operaciones definidas en R2 y definiendo nuevas operaciones que permitirán ampliar el campo de aplicación. Esta unidad se centra en el estudio de planos y rectas en R3.

A medida que recorran los temas desarrollados, podrán apreciar que los vectores resultan una herramienta potente para la resolución de diferentes problemas de la geometría analítica: intersecciones, distancias, ángulos, proyecciones, etc. Los conceptos trabajados en esta unidad se retomarán con frecuencia en otras unidades de la materia, proporcionando un marco geométrico que facilita la comprensión del estudio de sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales y otros temas.

Vectores recta y plano

Objetivos:

-Realizar las operaciones vectoriales básicas en R3, aplicar sus propiedades y conocer su interpretación geométrica.

-Aplicar el álgebra vectorial a la resolución de una gama amplia de problemas geométricos.

-Caracterizar planos y rectas en R3 mediante sus diferentes ecuaciones y representarlos gráficamente.

-Describir haces (familias) de planos sujetos a una condición geométrica.

-Investigar posiciones relativas entre planos, entre rectas y entre planos y rectas.

-Identificar rectas coplanares y alabeadas.

-Resolver problemas de distancias, de ángulos y de proyecciones.

distancias y proyecciones

Última vez actualizado 30 julio, 2017 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 2 comentarios

Distancias y proyecciones

Proyecciones ortogonales Proyección de un punto sobre un plano Dados un plano \(\pi \) y un punto A no perteneciente a dicho plano, la proyección ortogonal de A sobre \(\pi \) es el punto \(A' \in \pi \) tal que \(\overrightarrow {AA'} \) es un vector perpendicular a \(\pi \). \[A' = pro{y_\pi }\left( A \right)\;\;\;si\;y\;só …

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Última vez actualizado 30 julio, 2017 por 7 comentarios

Recta y plano: intersecciones y ángulos

Intersección entre recta y plano ¿Qué casos pueden presentarse en la intersección entre una recta y un plano? Caso 1 Una recta puede ser concurrente con un plano: \[r \cap \pi = \left\{ P \right\}\] …

[Leer más...] acerca deRecta y plano: intersecciones y ángulos

recta en r3 - recta en el espacio

Última vez actualizado 22 junio, 2019 por Isabel Pustilnik y Federico Gómez 8 comentarios

Recta en R3

Ecuaciones de la recta en R3 Sabemos que una recta en \({\mathbb{R}^2}\) puede expresarse por la ecuación: \[y = ax + b\] Pero ¿qué representa esta ecuación en \({\mathbb{R}^3}\)? En \({\mathbb{R}^3}\) es un plano paralelo al eje \(z\), y en \({\mathbb{R}^2}\) es una recta: Para definir un plano es suficiente conocer un vector …

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Unidad 3

Espacios vectoriales

En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.

En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

Las siguientes preguntas nos ayudarán a focalizar el eje de esta unidad:

¿En qué se parecen los vectores geométricos, las matrices y los polinomios? ¿Qué propiedades comunes pueden detectarse en estos objetos de diferente naturaleza y variadas aplicaciones?

De esto se trata nuestra tercera unidad, donde se desarrollan conceptos centrales del álgebra lineal: espacios vectoriales, base, dimensión y coordenadas, entre otros.

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