Proyecciones ortogonales Proyección de un punto sobre un plano Dados un plano \(\pi \) y un punto A no perteneciente a dicho plano, la proyección ortogonal de A sobre \(\pi \) es el punto \(A' \in \pi \) tal que \(\overrightarrow {AA'} \) es un vector perpendicular a \(\pi \). \[A' = pro{y_\pi }\left( A \right)\;\;\;si\;y\;só …
Vectores, recta y plano.
En esta primera unidad de Álgebra y Geometría Analítica trabajaremos con vectores en R3, extendiendo al espacio tridimensional las operaciones definidas en R2 y definiendo nuevas operaciones que permitirán ampliar el campo de aplicación. Esta unidad se centra en el estudio de planos y rectas en R3.
A medida que recorran los temas desarrollados, podrán apreciar que los vectores resultan una herramienta potente para la resolución de diferentes problemas de la geometría analítica: intersecciones, distancias, ángulos, proyecciones, etc. Los conceptos trabajados en esta unidad se retomarán con frecuencia en otras unidades de la materia, proporcionando un marco geométrico que facilita la comprensión del estudio de sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales y otros temas.
Objetivos:
-Realizar las operaciones vectoriales básicas en R3, aplicar sus propiedades y conocer su interpretación geométrica.
-Aplicar el álgebra vectorial a la resolución de una gama amplia de problemas geométricos.
-Caracterizar planos y rectas en R3 mediante sus diferentes ecuaciones y representarlos gráficamente.
-Describir haces (familias) de planos sujetos a una condición geométrica.
-Investigar posiciones relativas entre planos, entre rectas y entre planos y rectas.
-Identificar rectas coplanares y alabeadas.
-Resolver problemas de distancias, de ángulos y de proyecciones.
Recta y plano: intersecciones y ángulos
Intersección entre recta y plano ¿Qué casos pueden presentarse en la intersección entre una recta y un plano? Caso 1 Una recta puede ser concurrente con un plano: \[r \cap \pi = \left\{ P \right\}\] …
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Recta en R3
Ecuaciones de la recta en R3 Sabemos que una recta en \({\mathbb{R}^2}\) puede expresarse por la ecuación: \[y = ax + b\] Pero ¿qué representa esta ecuación en \({\mathbb{R}^3}\)? En \({\mathbb{R}^3}\) es un plano paralelo al eje \(z\), y en \({\mathbb{R}^2}\) es una recta: Para definir un plano es suficiente conocer un vector …
