Autovalores y autovectores de una transformación lineal
Sea \(T:V \to V\) una transformación lineal:
\(\lambda \in \mathbb{R}\) es autovalor de \(T\) si y sólo si \(\exists v \in V\) no nulo, tal que \(T\left( v \right) = \lambda .v\)
\(v\) es el autovector asociado a \(\lambda \). Si \(V\) fuera un espacio de polinomios, entonces \(v\) sería un polinomio.
Si \(V\) fuera un espacio de matrices, entonces \(v\) sería una matriz. Nosotros vamos a trabajar en \(V = {\mathbb{R}^n}\)
Propiedad
Sea \(T:{\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}\) tal que \(A = M{\left( T \right)_{EE}}\), entonces:
\(\lambda \) es autovalor de \(T \Leftrightarrow \) \(\lambda \) es autovalor de \(A\)
Demostración
Por ser \(A\) la matriz estándar resulta:
\[T\left( v \right) = A.v\;\;{\rm{con}}\;\;v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{{x_2}}\\ \vdots \end{array}}\\{{x_n}}\end{array}} \right)\]
\(\lambda \) es autovalor de \(T\) \( \Leftrightarrow \) \(\exists v \in {\mathbb{R}^n}\) no nulo tal que \(T\left( v \right) = \lambda .v\) \(\; \Leftrightarrow \) \(\;\exists v \in {\mathbb{R}^{nx1}}\) no nulo tal que \(A.v = \lambda .v\) \(\; \Leftrightarrow \) \(\;\lambda \) es autovalor de \(A\).
Probamos que en una TL en \({\mathbb{R}^n}\), los autovalores y autovectores de la transformación son los mismos que los de su matriz asociada en base canónica.
Definición de transformación lineal diagonalizable
Sea \(T:V \to V\) una transformación lineal. Decimos que \(T\) es diagonalizable si existe alguna base \(B\) tal que la matriz \({M_{BB}}\left( T \right)\) es diagonal.
Ejemplo
Dada la transformación lineal:
\[T:{\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^2}|\;T\left( {\left( {x,y} \right)} \right) = \left( {x + 2y,3y} \right)\]
Hallar autovectores y autovalores de \(T\), y analizar si es diagonalizable.
Resolución
1) Buscamos la matriz de \(T\) en la base canónica.
\[A = M{\left( T \right)_{EE}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&3\end{array}} \right)\]
\[\lambda = 1 \vee \lambda = 3\]
\[{S_1} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right)} \right\}\]
\[{S_3} = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\end{array}} \right)} \right\}\]
3) \(A\) es diagonalizable, con
\[P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&1\end{array}} \right)\;\;\;y\;\;\;\;D = {P^{ – 1}}.A.P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&3\end{array}} \right)\]
Veamos que representa D:
\(B = \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {1,1} \right)} \right\}\) es una base de \({\mathbb{R}^2}\) formada por autovectores de \(T\),
¿Cómo se busca la matriz asociada a una transformación lineal?
\[M{\left( T \right)_{BB}} = \left( {\left[ {T\left( {{v_1}} \right){]_B}\;\;\;\;} \right[T\left( {{v_2}} \right){]_B}\;} \right)\]
Entonces esas coordenadas son:
\[T\left( {\left( {1,0} \right)} \right) = \left( {1,0} \right) = 1.\left( {1,0} \right) + 0.\left( {1,1} \right)\;\; \Rightarrow {\left[ {\left( {1,0} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right)\]
\[T\left( {\left( {1,1} \right)} \right) = \left( {3,3} \right) = 0.\left( {1,0} \right) + 3.\left( {1,1} \right)\;\; \Rightarrow {\left[ {\left( {3,3} \right)} \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\3\end{array}} \right)\]
Así que la matriz queda:
\[M{\left( T \right)_{BB}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&3\end{array}} \right) = D\]
Entonces, si tenemos una base \(B\) formada por autovectores de \(T\), ¡la matriz asociada en esa base es diagonal!
Propiedad
Una TL en \({\mathbb{R}^n}\) es diagonalizable si y sólo si existe una base \(B\) de \({\mathbb{R}^n}\) formada por autovectores de \(T\). En tal caso, \(M{\left( T \right)_{BB}} = \;D\).
Desde la perspectiva matricial, \(T\) es diagonalizable si y sólo si \(A = M{\left( T \right)_{EE}}\) es diagonalizable.
Ejercicio para el lector 5
a) Sea \(T:{\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}\) una transformación lineal. Probar:
Si \(Nu\left( T \right) \ne \left\{ {{0_{{\mathbb{R}^n}}}} \right\}\) entonces \(\lambda = 0\) es un autovalor de \(T\) y el autoespacio correspondiente es \(Nu\left( T \right)\)
b) Sea \(T:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^3}\) una transformación lineal que verifica las siguientes condiciones:
i) \(T\left( v \right) = 2v\;\;\forall v \in S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;\;|\;x – z = 0\;} \right\}\)
ii) \(Nu\left( T \right) = gen\left\{ {\left( {1,0,0} \right)} \right\}\)
Analizar si existe una base \(B\) de \({\mathbb{R}^3}\) tal que la matriz asociada a \(T\) respecto de dicha base sea diagonal. En caso afirmativo indicar \(B\) y \(M{\left( T \right)_{BB}}\).
