Espacio fila y espacio columna de una matriz
Consideremos la matriz:
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ – 1}\\1&1&{ – 1}&2\end{array}} \right)\]
Cada fila de A es un vector de \({\mathbb{R}^4}\):
\[{F_1} = \left( {1\;,\;1,\;0\;,\;1} \right)\]
\[{F_2} = \left( {0\;\;,\;\;\;0\;,\;1\;\;,\; – 1} \right)\]
\[{F_3} = \left( {\;1\;,\;1\;,\; – 1\;,\;2\;} \right)\]
Y cada columna es un vector de \({\mathbb{R}^3}\) (\({\mathbb{R}^{3×1}}\)):
\[{A_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}}\\1\end{array}} \right)\;\;\;,\;\;\;\;\;{A_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}}\\1\end{array}} \right)\;\;\;,\;\;\;{A_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\\{ – 1}\end{array}} \right)\;\;,\;\;\;\;{A_4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ – 1}\end{array}}\\2\end{array}} \right)\]
Se denomina espacio fila al subespacio generado por las filas:
\[Fil\left( A \right) = gen\left\{ {{F_1},{F_2},{F_3}} \right\} \subseteq {\mathbb{R}^4}\]
Se denomina espacio columna al subespacio generado por las columnas:
\[Col\left( A \right) = gen\left\{ {{A_1},{A_2},{A_3},{A_4}} \right\} \subseteq {\mathbb{R}^3}\]
En general, dada una matriz \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\) de \(m\) filas con \(n\) columnas, los espacios fila y columna son:\[Fil\left( A \right) = gen\left\{ {{F_1},{F_2}, \ldots ,{F_m}} \right\}\;\; \subseteq {\mathbb{R}^n}\]
\[Col\left( A \right) = gen\left\{ {{A_1},{A_2}, \ldots ,{A_n}} \right\}\; \subseteq {\mathbb{R}^m}\]
Rango de una matriz
\(Fil\left( A \right)\) y \(Col\left( A \right)\) son en general subespacios de diferentes espacios vectoriales. Pero se puede demostrar que en cualquier matriz la dimensión del espacio fila coincide con la dimensión del espacio columna, y a ese número se lo llama rango de la matriz \(A\).
El rango es el número de filas (o columnas) LI que tiene la matriz \(A\).
Propiedad
Como consecuencia de esta definición puede afirmarse que:
\[rg\left( A \right) = rg\left( {{A^t}} \right)\]
Método para hallar el rango de una matriz
Recordemos que:
1. Si se realizan operaciones elementales entre las filas de una matriz, el rango se conserva.
2. Las filas no nulas de una matriz escalonada son LI.
Por lo tanto, para determinar el rango de una matriz se aplican operaciones elementales para obtener una matriz escalonada y se cuentan las filas no nulas.
Ejemplo 1
Una matriz escalonada por filas es:
\[M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\color{red}{1}&0&1&0\\0&0&0&\color{red}{3}\\0&0&0&0\end{array}} \right)\]
Para determinar el rango contamos el número de filas no nulas (número de pivotes):
\[rg\left( M \right) = 2\]
Ejemplo 2
Consideremos la matriz:
\[N = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\color{red}{1}&2&3\\0&\color{red}{3}&1\\0&0&\color{red}{4}\end{array}} \right)\]
Como es escalonada por filas, contamos la cantidad de filas no nulas para hallar el rango:
\[rg\left( N \right) = 3\]
Se puede confundir una matriz escalonada con una matriz triangular, como veremos en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3
Consideremos la matriz:
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\0&0&1\\0&0&2\end{array}} \right)\]
Observamos que \(A\) es triangular (los elementos debajo de la diagonal principal son ceros) pero no está escalonada.
Mediante la operación elemental \({F_3} \to {F_3} – 2{F_2}\) , obtenemos una matriz escalonada equivalente:
\[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\0&0&1\\0&0&0\end{array}} \right)\]
De donde se deduce que \(rg\left( A \right)\; = \;rg\left( B \right)\; = \;2\)
Ejemplo 4
Retomemos la matriz:
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ – 1}\\1&1&{ – 1}&2\end{array}} \right)\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ – 1}\\1&1&{ – 1}&2\end{array}} \right)\;\;\mathop \to \limits_{{F_3} \to {F_3} – {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ – 1}\\0&0&{ – 1}&1\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_3} \to {F_3} + {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ – 1}\\0&0&0&0\end{array}} \right)\]
\[rg\left( A \right) = 2\]
Entonces una base del espacio fila es:
\[{B_{Fil\left( A \right)}} = \left\{ {{F_1},{F_2}} \right\}\]
Como la dimensión del espacio columna es la misma que la dimensión del espacio fila, sabemos que \(A\) tiene dos columnas LI. Por lo tanto una base de \(Col\left( A \right)\) es:
\[{B_{Col\left( A \right)}} = \left\{ {{A_1},{A_3}} \right\}\]
Compatibilidad y rango
Consideremos el siguiente sistema:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} – {x_4} = 2}\\{{x_1} + {x_2} – {x_3} + 2{x_4} = 0}\end{array}} \right.\]
Es un sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 4 incógnitas (3 x 4) cuya matriz de coeficientes es la \(A\) del ejemplo anterior.
El sistema puede expresarse en forma matricial como: \(A\;X = B\)
con \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ – 1}\\1&1&{ – 1}&2\end{array}} \right){\rm{\;\;}}\) y \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\\0\end{array}} \right)\)
Este sistema, ¿tendrá solución? ¿Cuántas soluciones tendrá?
Veamos cómo escribir el sistema en función de las columnas de la matriz \(A\):
\[{x_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right) + {x_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right) + {x_3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ – 1}\end{array}}\end{array}} \right) + {x_4}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}\\2\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}}\end{array}} \right)\]
Queda una combinación lineal de las columnas de \(A\) igualada al vector de los términos independientes:
\[{x_1}\;{A_1} + {x_2}\;{A_2} + {x_3}\;{A_3} + {x_4}\;{A_4} = B\]
¿Cuándo tiene solución el sistema? Cuando podemos encontrar valores para \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) que satisfagan la igualdad. Estos valores pueden ser únicos o no.
En otras palabras:
El sistema \(AX = B\) es compatible si y sólo si \(B\) es combinación lineal de las columnas de \(A\).
Decir que \(B\) es combinación lineal de las columnas de \(A\) significa que \(B\) está en el subespacio generado por las columnas de \(A\). O sea:
\[El\;sistema\;\;AX = B\;\;es\;compatible\;\;\; \Leftrightarrow \;\;B \in Col\left( A \right)\]
Consideremos la matriz ampliada del sistema, que se obtiene agregando la columna de los términos independientes:
\[A’ = \left( {{A_1}\;\;\;{A_2}\;\;\;{A_3}\;\;\;{A_4}\;\;\;\;B} \right)\]
¿Qué valores puede tomar \(rg\left( {A’} \right)?\)
El rango de \(A’\) dependerá de si \(B\) es combinación lineal o no de las columnas de \(A\):
- \(rg\left( {A’} \right) = rg\left( A \right) = 2 \Leftrightarrow B \in Col\left( A \right)\)
- \(rg\left( {A’} \right) = rg\left( A \right) + 1 = 3 \Leftrightarrow B \notin Col\left( A \right)\)
Estamos en condiciones de enunciar un teorema central sobre la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales \(AX = B\) es compatible si y sólo si el rango de la matriz ampliada es igual al rango de \(A\).
Ejemplo 1
Retomemos el sistema de ecuaciones anterior para analizar su compatibilidad:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} – {x_4} = 2}\\{{x_1} + {x_2} – {x_3} + 2{x_4} = 0}\end{array}} \right.\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ – 1}&2\\1&1&{ – 1}&2&0\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_3} \to {F_3} – {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ – 1}&2\\0&0&{ – 1}&1&{ – 3}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_3} \to {F_3} + {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ – 1}&2\\0&0&0&0&{ – 1}\end{array}} \right)\]
\[rg\left( A \right) = 2\;\;\;\;{\rm{y\;\;\;}}\;rg\left( {A’} \right) = 3 \Rightarrow {\rm{El\;sistema\;es\;incompatible}}\]
Ejemplo 2
Si cambiamos el término independiente de la tercera ecuación como sigue:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} – {x_4} = 2}\\{{x_1} + {x_2} – {x_3} + 2{x_4} = \color{red}{1}}\end{array}} \right.\]
El sistema resulta compatible porque:
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ – 1}&2\\1&1&{ – 1}&2&1\end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ – 1}&2\\0&0&{ – 1}&1&{ – 2}\end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ – 1}&2\\0&0&0&0&0\end{array}} \right)\]
\[rg\left( A \right) = rg\left( {A’} \right) = 2 \Rightarrow {\rm{El\;sistema\;es\;compatible}}\]
De acuerdo con la matriz escalonada el sistema se expresa cómo sigue:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} – {x_4} = 2}\end{array}} \right.\;\; \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3} = 2 + {x_4}}\\{{x_1} = 3 – {x_4} – {x_2}}\end{array}\;\;\;\;\forall {x_2},{x_4}} \right. \in \mathbb{R}\]
\({x_2},{x_4}\) son las variables libres.
El conjunto solución es:
\[S = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \left( {3 – {x_4} – {x_2},{x_2},2 + {x_4},{x_4}} \right)\;\;\;,\;{\rm{\;\;con\;\;}}\;{x_2},{x_4} \in \mathbb{R}} \right\}\]
Observación sobre la notación: Si expresamos el sistema de ecuaciones como \(AX = B\) con \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\) , el conjunto solución está incluido en \({\mathbb{R}^{n \times 1}}\) y deberíamos escribirlo en forma de columna. En este caso deberíamos escribir:
\[S = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}\\{{x_3}}\\{{x_4}}\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3 – {x_4} – {x_2}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}\\{2 + {x_4}}\\{{x_4}}\end{array}}\end{array}} \right){\rm{\;\;\;\;\;con\;\;}}{x_2},{x_4} \in \mathbb{R}} \right\}\]
Pero por motivos de simplicidad en la escritura muchas veces utilizaremos la notación de filas en lugar de la de columnas.
